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Hallo Leute!
Folgender Beweis bereitet mir Probleme:
Sei $A [mm] \in \mathbb{R}^{n \times n}$. [/mm] Sei [mm] $\left|\left|A\right|\right| [/mm] := [mm] \sup_{x\ne 0}\frac{\left|\left|Ax\right|\right|_1}{\left|\left|x\right|\right|_1}$. [/mm] Es gilt [mm] $\left|\left|A\right|\right|_1 \le \left|\left|A\right|\right|$ [/mm] zu zeigen.
Dazu betrachte man die Einheitsvektoren [mm] $e_l [/mm] = [mm] \left(\delta_{il}\right)_{1 \le i \le n;1 \le l \le n}$.
[/mm]
Und jetzt kommen Folgerungen, die ich nur schlecht verstehe:
[mm] $\sum_{i=1}^{n}{\left|a_{il}\right|} \mathop [/mm] = [mm] ^{\left(1\right)} \sum_{i=1}^{n}{\left|\sum_{k=1}^{n}{a_{ik}\delta_{kl}}\right|} [/mm] = [mm] \left|\left|Ae_l\right|\right|_1 \mathop \le ^{\left(2\right)} \left|\left|A\right|\right|\cdot{\left|\left|e_l\right|\right|_1} [/mm] = [mm] \left|\left|A\right|\right|$
[/mm]
Wieso gilt die Gleichung Nr. 1, und - was mich noch mehr beschäftigt - die Abschätzung bei Nr. 2? Je mehr ich mir diese Beweise anschaue, desto weniger scheine ich mit der Zeit zu verstehen... ![[ohwell]](/images/smileys/ohwell.gif "[ohwell]") .
Wäre schön, wenn ihr mir helfen könntet.
Danke!
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
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> Sei [mm]A \in \mathbb{R}^{n \times n}[/mm]. Sei
> [mm]\left|\left|A\right|\right| := \sup_{x\ne 0}\frac{\left|\left|Ax\right|\right|_1}{\left|\left|x\right|\right|_1}[/mm].
> Es gilt [mm]\left|\left|A\right|\right|_1 \le \left|\left|A\right|\right|[/mm]
> zu zeigen.
>
> Dazu betrachte man die Einheitsvektoren [mm]e_l = \left(\delta_{il}\right)_{1 \le i \le n;1 \le l \le n}[/mm].
>
>
> Und jetzt kommen Folgerungen, die ich nur schlecht
> verstehe:
>
>
> [mm]\sum_{i=1}^{n}{\left|a_{il}\right|} \mathop = ^{\left(1\right)} c = \left|\left|Ae_l\right|\right|_1 \mathop \le ^{\left(2\right)} \left|\left|A\right|\right|\cdot{\left|\left|e_l\right|\right|_1} = \left|\left|A\right|\right|[/mm]
>
Hallo,
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> Wieso gilt die Gleichung Nr. 1,
[mm] \sum_{i=1}^{n}|a_{il}|,
[/mm]
das sind die aufsummierten Beträge der l-ten Spalte.
[mm] \summe_{i=1}^{n}|\summe_{k=1}^{n}a_{ik}\delta_{kl}|
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n}|a_{i1}\delta_{1l}+a_{i2}\delta_{2l}+...+a_{in}\delta_{nl}|
[/mm]
[mm] =|a_{11}\delta_{1l}+a_{12}\delta_{2l}+...+a_{1n}\delta_{nl}| [/mm] + [mm] |a_{21}\delta_{1l}+a_{22}\delta_{2l}+...+a_{2n}\delta_{nl}| [/mm] + ... + [mm] |a_{n1}\delta_{1l}+a_{n2}\delta_{2l}+...+a_{nn}\delta_{nl}|
[/mm]
Jetzt ist ja l=1 oder l=2 oder... oder l=n. Nur die Faktoren vor [mm] \delta_{ll} [/mm] bleiben.
[mm] ...=|a_{1l}\delta_{ll}| [/mm] + [mm] |a_{2l}\delta_{ll}| [/mm] +... + [mm] |a_{nl}\delta_{ll}| [/mm]
[mm] =|a_{1l}|+|a_{2l}|+...+|a_{3l}|
[/mm]
Womit wir die gesuchte Gleichheit bei (1) haben.
und - was mich noch mehr
> beschäftigt - die Abschätzung bei Nr. 2?
Ich wage es fast nicht zu sagen, ich habe vergessen, was [mm] ||*||_1 [/mm] bedeutet.
Die Summe der Beträge irgendwie? Mein Buch ist drei Etagen tiefer...
Vielleicht später...
Je mehr ich mir
> diese Beweise anschaue, desto weniger scheine ich mit der
> Zeit zu verstehen... .
Jaja, es ist wie mit Alkohol.
Gruß v. Angela
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> Wäre schön, wenn ihr mir helfen könntet.
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> Danke!
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> [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
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