Beweis über Integralrechnung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige, dass [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{f^{\*}(x)*f(x) dx} [/mm] = 1 für die Funktion f(x)= [mm] \pi^{-0.5} [/mm] sin(X) gilt |
Hallo,
ich stehe hier vor einem kleinen Problem bei der Lösung eines Integrals:
Es gilt zu zeigen, dass das [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{f^{\*}(x)*f(x) dx} [/mm] = 1 ist, für die Funktion f(x)= [mm] \pi^{-0.5} [/mm] sin(X) .
Mittels partieller Integration und der Annahme [mm] sin^{2}(x)+cos^{2}(x) [/mm] = 1 erhalte ich :
[mm] \pi^{-1} [/mm] * [ [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{dx} [/mm] - [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{sin^{2}(x) dx} [/mm] ] = 1
Hat einer ne Ahnung wie der Beweis zu Ende geführt werden kann ? Ich weiß nämlich, dass die Annahme richtig ist. ;)
Besten Dank schonmal !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo chemist86 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
verrate uns doch bitte noch, was du mit [mm] $f^{\star}$ [/mm] meinst ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo chemist,
sofern [mm] $f^\*$ [/mm] das komplex konjugierte von $f$ ist und du also "nur" das Integral [mm] $\int\limits_{-\pi}^\pi \frac{1}{\pi}\sin^2(x) [/mm] dx$ ausrechnen sollst, würde ich erstmal partiell integrieren.
Du erhältst dann ein Inegral über [mm] $\cos^2(x)$, [/mm] welches du in [mm] $1-\sin^2(x)$ [/mm] umformen kannst.
Das Ganze kannst du dann nach [mm] $\int\limits_{-\pi}^\pi \sin^2(x) [/mm] dx$ auflösen und erhältst eine Stammfunktion, bzw. die Lösung.
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:13 Mi 07.01.2009 | | Autor: | chemist86 |
Zunächst war mit f* das komplex kunjugierte zu f gemeint, wobei das meiner Meinung nach hier keinen Unterschied macht.
Was ich jedoch immer noch nicht verstehe ist wie ich von dem über partielle Integration und weiterer Umformung erhaltenen Ausdruck auf =1 komme ??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Mi 07.01.2009 | | Autor: | chemist86 |
Ok ich habs !
Hab mich ein bisschen dümmer angestellt als ich anscheinend war.
Danke für die schnelle Hilfe !!!
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