Beweis pos.def.Bilinearform < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Mi 21.04.2010 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | | Sei V der Vektorraum der reelen nxn Matrizen. Man beweise, dass <A,B>=Spur((A hoch t)B) eine positiv definite Bilinearform auf V ist, und fine eine Orthonormalbasis für diese Bilinearform. |
Ich habe leider riesige Probleme bei dem Lösen dieser Aufgabe. Grundsätzlich weiss ich, dass eine Bilinearform genau dann pos. def. ist, wenn alle Hauptminoren von A positiv sind, das heisst, für alle i = 1,...,n gilt Det(Ai) > 0
Jedoch kann ich mir nicht vortstellen, wie ich diese Hauptminoren ausrechnen soll von diesen Matrizen...Muss ich mir das so vorstellen, dass ich Matrizen A und B mit Einträgen a11, a12... etc und b11, b12 ... etc auswählen muss und dann multiplizieren oder gibt es da einen eleganteren Weg? Vielen Dank im Voraus für Hilfe! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Mi 21.04.2010 | | Autor: | nooschi |
was ist die Definition von positiv definit? Ganz einfach: [mm] $$\ge [/mm] 0, [mm] A=0\gdw [/mm] <A,A>=0$$ wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, dann ist das jetzt überhaupt nicht schwer zu zeigen, da musst du nix mit Hauptminoren anfangen...
[mm] $=Spur(A^T,A)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(a_{j,i})^2\ge [/mm] 0$
ja und jetzt noch schnell die zweite bedingung zeigen und fertig bist du damit.
was du aber noch zeigen musst, ist, dass das ganze überhaupt eine Bilinearform (linear in jedem Eintrag!) ist und dann natürlich noch der zweite Aufgabenteil...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:53 So 25.04.2010 | | Autor: | natascha |
Vielen Dank für meine Antwort! Es ist mir so gelungen, die Bilinearität und das positiv definite zu beweisen! Danke!
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Im zweiten Teil der Aufgabe geht es darum, eine Orthonormalbasis für diese Bilinearform zu finden. Ich denke, dass es sich dabei um die Standardbasis handelt, also dass die Standardbasis eine Orthonormalbasis für die Bilinearform ist. Jedoch weiss ich nicht, wie ich das beweisen muss... Vielen Dank im Voraus für Hilfe! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Fr 30.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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