www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Zahlentheorie" - Beweis/ordnung/neutrales
Beweis/ordnung/neutrales < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Beweis/ordnung/neutrales: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:05 Mo 17.09.2012
Autor: sissile

Aufgabe
Sei (G,*) eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung |G| mit neutralem Element e. Dann gilt [mm] a^{|G|} [/mm] = e [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G

Hinweis: Überprüfe Bijektivität von [mm] \phi [/mm] : G->G , [mm] \phi(x)=ax [/mm]

So die aufgabe wurde von Tutor folgendermaßen gelöst:

Sei A [mm] \in [/mm] G. Die Abbildung [mm] \phi [/mm] : G-> G, [mm] \phi(x)=ax [/mm]

Injektivität:
Angenommen [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \phi(y) [/mm] => ax = ay
Zuzeigen: x= y
Beweisführung: x= [mm] a^{-1} [/mm] a x= [mm] a^{-1} [/mm] (a x) = [mm] a^{-1} [/mm] (ay) = [mm] a^{-1} [/mm] a y = y


Surjektiv:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] G ist x= [mm] a(a^{-1} [/mm] x) = [mm] \phi(a^{-1} [/mm] x)

=>BIJEKTIV

Wegen Surjektivität gilt [mm] G=\{ax|x \in G\} [/mm]
=> [mm] \produkt_{x \in G} [/mm] x= [mm] \produkt_{x \in G} ax=a^{|G|} \produkt_{x \in G} [/mm] x
-> Inverse anwenden .


Ich verstehe einen Schritt nicht: [mm] \produkt_{x \in G} [/mm] ax = [mm] a^{|G|} \produkt_{x \in G} [/mm] x
Und warum  brauchen wir die Injektivität/Bijektivität, da wir nur die surjektivität nutzen.
Kann mir den wer erklären?

Liebe Grüße

        
Bezug
Beweis/ordnung/neutrales: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 Mo 17.09.2012
Autor: Marcel

Hallo Sissile,

> Sei (G,*) eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung |G| mit
> neutralem Element e. Dann gilt [mm]a^{|G|}[/mm] = e [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] G
>  
> Hinweis: Überprüfe Bijektivität von [mm]\phi[/mm] : G->G ,
> [mm]\phi(x)=ax[/mm]
>  So die aufgabe wurde von Tutor folgendermaßen gelöst:
>  
> Sei A [mm]\in[/mm] G. Die Abbildung [mm]\phi[/mm] : G-> G, [mm]\phi(x)=ax[/mm]
>  
> Injektivität:
>  Angenommen [mm]\phi(x)[/mm] = [mm]\phi(y)[/mm] => ax = ay

>  Zuzeigen: x= y
>  Beweisführung: x= [mm]a^{-1}[/mm] a x= [mm]a^{-1}[/mm] (a x) = [mm]a^{-1}[/mm] (ay)
> = [mm]a^{-1}[/mm] a y = y
>  
>
> Surjektiv:
>  [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] G ist x= [mm]a(a^{-1}[/mm] x) = [mm]\phi(a^{-1}[/mm] x)
>  
> =>BIJEKTIV
>  
> Wegen Surjektivität gilt [mm]G=\{ax|x \in G\}[/mm]
>  => [mm]\produkt_{x \in G}[/mm] x= [mm]\produkt_{x \in G} ax=a^{|G|} \produkt_{x \in G}[/mm] x

> -> Inverse anwenden .
>  
>
> Ich verstehe einen Schritt nicht: [mm]\produkt_{x \in G}[/mm] ax =
> [mm]a^{|G|} \produkt_{x \in G}[/mm] x
>  Und warum  brauchen wir die Injektivität/Bijektivität,
> da wir nur die surjektivität nutzen.

Du benutzt eben nicht nur die Surjektivität, sondern auch die Injektivität:
Ich habe die Stelle, wo das passiert, mal fett und rot markiert. Ist Dir klar,
dass das an dieser Stelle passiert? Denn wie will man mit einer
Umkehrfunktion arbeiten dürfen, wenn man noch nicht mal weiß, ob's denn
eine gibt?

>  Kann mir den wer erklären?

Und zu der Gleichung:
[mm] $$\produkt_{x \in G}ax=a^{|G|}*\produkt_{x \in G}x:\;$$ [/mm]

Nun ja, dort steht ein endliches Produkt [mm] ($G\,$ [/mm] ist ENDLICH), und die
Faktoren kommutieren [mm] ($G\,$ [/mm] ist ABELSCH), daher gilt
[mm] $$\produkt_{x \in G}(ax)=\Big(\produkt_{x \in G}a\Big)\produkt_{x \in G}x$$ [/mm]

Und was ist denn nun [mm] $\produkt_{x \in G}a$? [/mm]

P.S.
Wenn's unklar ist, mach's Dir mal in [mm] $(\IR,*)$ [/mm] wenigstens bei endlichen
Produkten klar, denn anders rechnen tut man dort i.w. auch nicht
(natürlich ist [mm] $\IR$ [/mm] NICHT endlich!):

Wie würdest Du etwa [mm] $\produkt_{k=1}^n (2*x_k)$ [/mm] umschreiben können
- in vollkommener rechnerischer Analogie?
[mm] ($x_k$ [/mm] reelle Zahlen für [mm] $k=1,\ldots,n\,.$) [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Beweis/ordnung/neutrales: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Mo 17.09.2012
Autor: sissile

Hallo,
> $ [mm] \produkt_{k=1}^n (2\cdot{}x_k) [/mm] $

[mm] =\produkt_{k=1}^n [/mm] 2 [mm] \produkt_{k=1}^n x_k [/mm]
= [mm] 2^n \produkt_{k=1}^n x_k [/mm]

Jetzt ist es denke ich klar.
Liebe Grüße

Bezug
                        
Bezug
Beweis/ordnung/neutrales: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:15 Mo 17.09.2012
Autor: Marcel

Hallo Sissile,

> Hallo,
>  > [mm]\produkt_{k=1}^n (2\cdot{}x_k)[/mm]

> [mm]=\produkt_{k=1}^n[/mm] 2 [mm]\produkt_{k=1}^n x_k[/mm]
>  = [mm]2^n \produkt_{k=1}^n x_k[/mm]
>  
> Jetzt ist es denke ich klar.
>  Liebe Grüße

okay. Ich denke auch, dass Du das nun verstanden hast, dass
[mm] $$\produkt_{x \in G}a=a^{|G|}$$ [/mm]
ist. Wäre es immer noch unklar, hätte ich schlimmstenfalls noch einen
Vorschlag gemacht:
Setze [mm] $n:=|G|\,,$ [/mm] und betrachte [mm] $G\,$ [/mm] in der Form
[mm] $G=\{x_1,\,\ldots,x_n\}\,.$ [/mm] (Formal macht man sowas wie [mm] $\phi:\{1,...,n\} \to [/mm] G$ injektiv (und damit hier auch surjektiv bzw. bijektiv) zu benutzen.
(Entweder begründet man die Existenz einer solchen Abbildung [mm] $\phi$ [/mm]
irgendwie anders, oder man gibt einen "konstruktiven Algorithmus" an.)

Dann ist [mm] $\produkt_{x \in G}a=\produkt_{1 \le m \le n:\;\;x_m \in G}a=\produkt_{\ell=1}^n a=a^n=a^{|G|}\,,$ [/mm] wobei die erste Gleichheit
mit der Bijektivität von [mm] $\phi$ [/mm] zu tun hat - die zweite mit der Injektivität.
Wie man das noch viel schöner aufschreiben könnte, müßte ich mir
überlegen (irgendwas stört mich hierdran nämlich noch, ich weiß nur nicht,
was). Aber eventuell schreibt das auch jemand anderes. Wobei es ja eh
nicht so wichtig ist, da Du das Entscheidende ja verstanden hast!

Gruß,
  Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]