Beweis mit vollst. Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es ist mittels vollständiger Induktion für n [mm] \in \IN [/mm] zu zeigen:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} a^k b^{n-k} [/mm] = [mm] \bruch{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b} [/mm] $, falls $ a [mm] \not= [/mm] b $. |
Hallo,
ich habe sehr wenig Erfahrung und Übung mit Induktionsbeweisen, deshalb bitte ich jemanden mein Vorgehen zu überprüfen:
Induktionsanfang für n = 1:
linke Seite: $ [mm] \summe_{k=0}^{n=1} a^k b^{n-k} [/mm] = [mm] a^0 b^1 [/mm] + [mm] a^1 b^0 [/mm] = b + a $
rechte Seite: $ [mm] \bruch{a^{2}-b^{2}}{a-b} [/mm] = a + b $
Induktionsschluss von n auf (n+1):
rechte Seite: $ [mm] \bruch{a^{n+2}-b^{n+2}}{a-b} [/mm] $
Eine Polynomdivision $ [mm] (a^{n+2}-b^{n+2}) [/mm] / (a-b) $ liefert:
$ [mm] (a^{n+2}-b^{n+2}) [/mm] / (a-b) = [mm] a^{n+1} [/mm] b + [mm] a^n [/mm] b + [mm] a^{n-1} b^{2} [/mm] + ... + [mm] a^2 b^{n-1} [/mm] + a [mm] b^{n} [/mm] + [mm] b^{n+1} [/mm] $
$ = [mm] \summe_{k=0}^{n+1} a^k b^{(n+1)-k} [/mm] $ (= linke Seite für n+1)
Kann ich das so machen? Bin ich damit fertig?
Mich stört insbesondere, dass ich quasi eine "unvollständige" Polynomdivision ausführe: Ich "sehe" das Ergebnis, aber da ja n in den Exponenten auftaucht, führe ich die Polynomdivison nicht "formal sauber" zu Ende...
Gibt es vielleicht eine elegantere Vorgehensweise?
Vielen Dank & schöne Grüße
franzzink
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Do 20.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es ist mittels vollständiger Induktion für n [mm]\in \IN[/mm] zu
> zeigen:
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> [mm]\summe_{k=0}^{n} a^k b^{n-k} = \bruch{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b} [/mm],
> falls [mm]a \not= b [/mm].
> Hallo,
>
> ich habe sehr wenig Erfahrung und Übung mit
> Induktionsbeweisen, deshalb bitte ich jemanden mein
> Vorgehen zu überprüfen:
>
> Induktionsanfang für n = 1:
>
> linke Seite: [mm]\summe_{k=0}^{n=1} a^k b^{n-k} = a^0 b^1 + a^1 b^0 = b + a[/mm]
>
> rechte Seite: [mm]\bruch{a^{2}-b^{2}}{a-b} = a + b[/mm]
>
>
> Induktionsschluss von n auf (n+1):
>
> rechte Seite: [mm]\bruch{a^{n+2}-b^{n+2}}{a-b}[/mm]
>
> Eine Polynomdivision [mm](a^{n+2}-b^{n+2}) / (a-b)[/mm] liefert:
>
> [mm](a^{n+2}-b^{n+2}) / (a-b) = a^{n+1} b + a^n b + a^{n-1} b^{2} + ... + a^2 b^{n-1} + a b^{n} + b^{n+1}[/mm]
Wenn Du das so machst, warum schreibst Du dann nicht gleich:
" Eine Polynondivision [mm] $\bruch{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}$ [/mm] liefert [mm] $\bruch{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}=\summe_{k=0}^{n} a^k b^{n-k} [/mm] $"
????
>
> [mm]= \summe_{k=0}^{n+1} a^k b^{(n+1)-k}[/mm] (= linke Seite für
> n+1)
>
>
> Kann ich das so machen? Bin ich damit fertig?
Nein. Das war kein Induktionsbeweis. Die Induktionsvor. hast Du weder formuliert, noch benutzt.
FRED
>
> Mich stört insbesondere, dass ich quasi eine
> "unvollständige" Polynomdivision ausführe: Ich "sehe" das
> Ergebnis, aber da ja n in den Exponenten auftaucht, führe
> ich die Polynomdivison nicht "formal sauber" zu Ende...
>
> Gibt es vielleicht eine elegantere Vorgehensweise?
>
> Vielen Dank & schöne Grüße
> franzzink
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Hallo FRED,
vielen Dank für die Antwort.
> > Induktionsanfang für n = 1:
> >
> > linke Seite: [mm]\summe_{k=0}^{n=1} a^k b^{n-k} = a^0 b^1 + a^1 b^0 = b + a[/mm]
>
> > rechte Seite: [mm]\bruch{a^{2}-b^{2}}{a-b} = a + b[/mm]
Stimmt denn wenigstens der Induktionsanfang oder begehe ich schon hier einen formalen Fehler?
> > Induktionsschluss von n auf (n+1):
> >
> > rechte Seite: [mm]\bruch{a^{n+2}-b^{n+2}}{a-b}[/mm]
> >
> > Eine Polynomdivision [mm](a^{n+2}-b^{n+2}) / (a-b)[/mm] liefert:
> >
> > [mm](a^{n+2}-b^{n+2}) / (a-b) = a^{n+1} b + a^n b + a^{n-1} b^{2} + ... + a^2 b^{n-1} + a b^{n} + b^{n+1}[/mm]
>
> Wenn Du das so machst, warum schreibst Du dann nicht
> gleich:
>
> " Eine Polynondivision [mm]\bruch{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}[/mm] liefert
> [mm]\bruch{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}=\summe_{k=0}^{n} a^k b^{n-k} [/mm]"
>
> ????
Diese Überlegung habe ich ernsthaft angestellt. Scheinbar zählt sie nicht als Beweis. Ok, mein Fehler.
> Nein. Das war kein Induktionsbeweis. Die Induktionsvor.
> hast Du weder formuliert, noch benutzt.
Induktionsvoraussetzung:
Man setzt die Gültigkeit von
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} a^k b^{n-k} [/mm] = [mm] \bruch{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b} [/mm] $
für ein beliebiges n [mm] \ge [/mm] 1 voraus.
Induktionsschluss von n auf n+1:
Linke Seite der Ausgangsgleichung für n+1:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n+1} a^k b^{(n+1)-k} [/mm] = b [mm] (\summe_{k=0}^{n} a^k b^{n-k}) [/mm] + [mm] a^{n+1} [/mm] = $
$ = b [mm] (\bruch{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}) [/mm] + [mm] a^{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{a^{n+1}b-b^{n+2}+a^{n+2}-a^{n+1}b}{a-b} [/mm] = $
$ = [mm] \bruch{a^{n+2}-b^{n+2}}{a-b} [/mm] $ (= rechte Seite der Ausgangsgleichung für n+1)
Ist es so besser? Geht dies jetzt als ein Beweis durch?
Grüße
franzzink
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Do 20.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
genau das ist ein richtihrt Induktionsbeweis, du hast die Ind. vors benutzt um auf die Bejauptung zu schließen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Do 20.09.2012 | | Autor: | franzzink |
Danke.
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