Beweis mit Körperaxiomen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Do 23.10.2008 | | Autor: | Lexie |
| Aufgabe | Beweisen Sie die nachfolgende Aussage ausschließlich durch Benutzung der Körperaxiome A1 bis A9 sowie durch elementare logische Überlegungen.
Für x,y [mm] \in \IR [/mm] gilt x * y = 0 [mm] \gdw [/mm] x = 0 oder y = 0. |
Hallo zusammen,
mein Problem ist, dass ich bei dieser Aufgabe nicht weiß, wie ich anfangen muss. Die restlichen Aufgaben auf dem Übungsblatt waren ohne Äquivalenz (z.B. (-1)x = -x).
Ich hoffe jemand kann mir helfen.
Muss ich von x*y ausgehen und nach 0 umformen? Oder von 0 nach x oder y?
Ich habe schon an eine Fallunterscheidung gedacht, da es ja x=0 oder y=0 heißt, aber mir fällt keine sinnvolle Unterscheidung ein.
Danke schonmal im Voraus,
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Do 23.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie die nachfolgende Aussage ausschließlich durch
> Benutzung der Körperaxiome A1 bis A9 sowie durch elementare
> logische Überlegungen.
>
> Für x,y [mm]\in \IR[/mm] gilt x * y = 0 [mm]\gdw[/mm] x = 0 oder y = 0.
> Hallo zusammen,
>
> mein Problem ist, dass ich bei dieser Aufgabe nicht weiß,
> wie ich anfangen muss. Die restlichen Aufgaben auf dem
> Übungsblatt waren ohne Äquivalenz (z.B. (-1)x = -x).
>
> Ich hoffe jemand kann mir helfen.
> Muss ich von x*y ausgehen und nach 0 umformen? Oder von 0
> nach x oder y?
> Ich habe schon an eine Fallunterscheidung gedacht, da es
> ja x=0 oder y=0 heißt, aber mir fällt keine sinnvolle
> Unterscheidung ein.
zu zeigen ist für $x,y [mm] \in \IR$:
[/mm]
[mm] $\black{x}*y=0$ $\gdw$ $\black{x}=0$ [/mm] oder [mm] $\black{y}=0$. [/mm]
Da sind (da dort ein [mm] $\gdw$-Zeichen [/mm] steht) zwei Folgerungen zu zeigen:
1.) [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] Wenn [mm] $\black{x}*y=0$ [/mm] gilt, so gilt [mm] $\black{x}=0$ [/mm] oder [mm] $\black{y}=0$.
[/mm]
2.) [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] Wenn [mm] $\black{x}=0$ [/mm] oder [mm] $\black{y}=0$ [/mm] gilt, so folgt auch [mm] $\black{x}*y=0$.
[/mm]
Zu 1.), [mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Hier setzt Du nun voraus, dass [mm] $\black{x}*y=0$ [/mm] gilt. Jetzt kannst Du wie folgt überlegen:
Ist [mm] $\black{x}=0$ [/mm] oder [mm] $\black{y}=0$, [/mm] so ist ja nichts mehr zu zeigen. Also musst Du Dir überlegen, was passiert, wenn nicht [mm] ($\black{x}=0$ [/mm] oder [mm] $\black{y}=0$) [/mm] gilt.
Die Aussage nicht [mm] ($\black{x}=0$ [/mm] oder [mm] $\black{y}=0$) [/mm] bedeutet aber nichts anderes, als dass nicht [mm] $\black{x}=0$ [/mm] und nicht [mm] $\black{y}=0$ [/mm] gilt, also, dass sowohl $x [mm] \not=0$ [/mm] als auch $y [mm] \not=0\,.$
[/mm]
D.h., nun gehe davon aus, dass sowohl $x [mm] \not=0$ [/mm] als auch $y [mm] \not=0$. [/mm] Dann existiert aber [mm] $x^{-1}=\frac{1}{x} \in \IR$ [/mm] mit
(I) [mm] $\frac{1}{x}*x=1$. [/mm]
Wenn Du nun [mm] $\black{x}*y=0$ [/mm] hast und das mit (I) kombinierst, so folgt daraus dann aber ein Widerspruch (nämlich [mm] $\black{y}=0$). [/mm] Wie das genau aussieht, musst Du Dir mal überlegen.
2.) [mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Hier hast Du zu zeigen: Ist [mm] $\black{x}=0$ [/mm] oder [mm] $\black{y}=0$, [/mm] so folgt auch schon [mm] $\black{x}*y=0$.
[/mm]
(Wenn $0*r=r*0=0$ für alle $r [mm] \in \IR$ [/mm] bekannt ist (im Sinne von: In der Vorlesung oder Übung bewiesen), so erwähnt man das einfach und braucht dann nichts mehr zu beweisen. Ansonsten siehe unten.)
Ist $x=0$, so gilt aber [mm] $x*y=0*y=(1+(-1))*y=y+(-y)=0\,.$
[/mm]
Analog argumentiert man im Falle [mm] $\black{y}=0$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Do 23.10.2008 | | Autor: | Lexie |
Erstmal danke für die schnelle Antwort!
Ich würde es jetzt so machen:
x*y=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=0 oder y=0
1. Fall: x=0 oder y=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=0 oder y=0
(oder kann man das dann einfach weglassen?)
2.Fall: [mm] x\not=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 = x*y
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 = [mm] x^{-1} [/mm] *(xy)
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 = [mm] (x^{-1}x)*y
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 = [mm] (xx^{-1})*y
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 = 1*y
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 = y
(natürlich dazu das jeweilige Axiom angegeben)
3.Fall: [mm] y\not=0
[/mm]
(das gleiche wie bei 2.Fall nur y anstatt x)
Oder funktioniert das auch ohne Fallunterscheidung? Aber das macht ja keinen Sinn, wenn beides [mm] \not=0 [/mm] ist kann es ja nicht funktionieren... Oder muss ich das auch noch beweisen, dass es dann nicht geht?
x=0 oder y=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x*y=0
1.Fall: x=0
[mm] \Rightarrow [/mm] x*y
= 0*y
= (1+(-1))*y
= (y+(-y))
= 0
2.Fall: y=0
[mm] \Rightarrow [/mm] x*y
= x*0
= x*(1+(-1))
= (x+(-x))
= 0
Stimmt das jetzt so einigermaßen?
LG, Alexandra
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Do 23.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Erstmal danke für die schnelle Antwort!
>
> Ich würde es jetzt so machen:
>
> x*y=0 [mm]\Rightarrow[/mm] x=0 oder y=0
>
> 1. Fall: x=0 oder y=0 [mm]\Rightarrow[/mm] x=0 oder y=0
> (oder kann man das dann einfach weglassen?)
ja, das ist schon okay. Ich würde hier einfach sagen: Im Falle $x=0$ oder $y=0$ ist nichts zu zeigen.
> 2.Fall: [mm]x\not=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 = x*y
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 = [mm]x^{-1}[/mm] *(xy)
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 = [mm](x^{-1}x)*y[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 = [mm](xx^{-1})*y[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 = 1*y
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 = y
> (natürlich dazu das jeweilige Axiom angegeben)
>
> 3.Fall: [mm]y\not=0[/mm]
> (das gleiche wie bei 2.Fall nur y anstatt x)
Das geht auch.
> Oder funktioniert das auch ohne Fallunterscheidung?
Man kann es eleganter formulieren. Ich würde nun sagen: Wegen der Kommutativität der Multiplikation gilt [mm] $x*y=\black{y}*x$. [/mm] Ohne Einschränkung nehmen wir nun $x [mm] \not=0$ [/mm] an. Dann schreibst Du Deine obige Rechnung, die dann zeigt: Im Falle $x [mm] \not=0$ [/mm] folgt aus [mm] $\black{x}*y=0$ [/mm] dann [mm] $\black{y}=0$.
[/mm]
Im Falle [mm] $\black{y} \not=0$ [/mm] folgt dann wegen [mm] $\black{x}*y=y*x$ [/mm] aber genauso aus [mm] $0=x*y=\black{y}*x$ [/mm] dann [mm] $\black{x}=0$. [/mm]
> Aber
> das macht ja keinen Sinn, wenn beides [mm]\not=0[/mm] ist kann es ja
> nicht funktionieren... Oder muss ich das auch noch
> beweisen, dass es dann nicht geht?
Nein. Du hast doch oben gerade gezeigt, dass aus [mm] $x*\black{y}=0$ [/mm] folgt, dass $x=0$ gilt oder aber $y=0$ gilt. Das heißt, wenn [mm] $x*\black{y}=0$ [/mm] gilt, so gilt in notwendiger Weise eine der folgenden drei Fälle:
1.) [mm] $x=y=\black{0}$
[/mm]
2.) [mm] $x=\black{0}$ [/mm] und [mm] $y\not=0$
[/mm]
3.) $x [mm] \not=0$ [/mm] und [mm] $y=\black{0}$
[/mm]
Man kann natürlich auch anders an die Aufgabe herangehen:
Die Behauptung: [mm] $\black{x}*y=0$ $\Rightarrow$ $\black{x}=0$ [/mm] oder [mm] $\black{y}=0$ [/mm] ist gleichwertig zu:
$x [mm] \not=0$ [/mm] und $y [mm] \not=0$ $\Rightarrow$ [/mm] $x*y [mm] \not=0\,.$
[/mm]
(Stichwort: Kontraposition!)
Und anstelle des obigen Beweises kann man dann halt auch einfach zeigen, dass für $x,y [mm] \in \IR$, [/mm] $x,y [mm] \not=0$ [/mm] dann auch $x*y [mm] \not=0$ [/mm] ist. Aber das nur nebenbei, am besten bleib' nun bei Deinem Beweis so, wie er oben ist. Sonst wirfst Du nachher Dinge durcheinander.
> x=0 oder y=0 [mm]\Rightarrow[/mm] x*y=0
>
> 1.Fall: x=0
> [mm]\Rightarrow[/mm] x*y
> = 0*y
> = (1+(-1))*y
> = (y+(-y))
> = 0
>
> 2.Fall: y=0
> [mm]\Rightarrow[/mm] x*y
> = x*0
> = x*(1+(-1))
> = (x+(-x))
> = 0
>
>
> Stimmt das jetzt so einigermaßen?
Ja, das sieht eigentlich recht gut aus.
(Auch hier könntest Du Dir wegen [mm] $\black{x}*y=y*x$ [/mm] den zweiten Fall sparen. Du sagst dann einfach, dass das wegen [mm] $\black{x}*y=y*x$ [/mm] aus dem ersten durch Rollentausch von [mm] $\black{x}$ [/mm] und [mm] $\black{y}$ [/mm] folgt. Aber lass' es nun ruhig so stehen.)
Du mußt halt, wie Du schon selbst sagtest, immer dazuschreiben, welches Körperaxiom/oder bewiesen "Rechenregeln" Du wo verwendest (z.B. sowas wie $(-1)*y=-y$, also das zur $1$ additiv inverse multipliziert mit $y$ ergibt das additiv inverse Element zu $y$).
Also: das sieht soweit gut aus, Du musst nur noch ergänzen, an welcher Stelle Du welches Axiom (oder welche "Rechenregel") benutzt 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:14 Do 23.10.2008 | | Autor: | Lexie |
Super, vielen Dank nochmal!
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