Beweis mit Hilbert-Kalkül < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | 1. $(A [mm] \rightarrow [/mm] B) [mm] \rightarrow (\neg B\rightarrow \neg [/mm] A)$ |
| Aufgabe 2 | | 2. $A [mm] \rightarrow (\neg [/mm] B [mm] \rightarrow \neg [/mm] (A [mm] \rightarrow [/mm] B))$ |
Hallo,
ich soll mithilfe der drei Axiome des Hilbert-Kalküls und dem Modus Ponens die beiden Ausdrücke herleiten. [mm] $\neg\neg [/mm] A [mm] \rightarrow [/mm] A$ und $A [mm] \rightarrow \neg\neg [/mm] A$ habe ich schon bewiesen und kann ich somit verwenden.
Axiome:
1. [mm] $F\rightarrow(G\rightarrow [/mm] F)$
2. [mm] $(F\rightarrow(G\rightarrow H))\rightarrow(F\rightarrow G)\rightarrow(F\rightarrow [/mm] H)$
3. [mm] $(\neg F\rightarrow \neg [/mm] G) [mm] \rightarrow [/mm] (G [mm] \rightarrow [/mm] F)$
Mein Ansatz für die erste Aufgabe lautet (ich habe von unten begonnen):
????
[mm] $\{A\rightarrow B)\} \vdash A\rightarrow [/mm] B$ Deduktionstheorem
[mm] $\{A\rightarrow B)\} \vdash [/mm] B [mm] \rightarrow \neg\neg [/mm] B$
[mm] $\{A\rightarrow B)\} \vdash \neg\neg [/mm] B$ MP
[mm] $\{A\rightarrow B)\} \vdash \neg\neg [/mm] B [mm] \rightarrow(\neg\neg [/mm] A [mm] \rightarrow \neg\neg [/mm] B)$ Axiom 1
[mm] $\{A\rightarrow B)\} \vdash (\neg\neg [/mm] A [mm] \rightarrow \neg\neg [/mm] B)$ MP
[mm] $\{A\rightarrow B)\} \vdash (\neg\neg [/mm] A [mm] \rightarrow \neg \neg [/mm] B) [mm] \rightarrow (\neg B\rightarrow\neg [/mm] A))$ Axiom 3
[mm] $\{A\rightarrow B)\} \vdash (\neg [/mm] B [mm] \rightarrow \neg [/mm] A)$ MP
[mm] $\vdash [/mm] (A [mm] \rightarrow [/mm] B) [mm] \rightarrow (\neg B\rightarrow \neg [/mm] A)$
Zum Lösen von 1. fehlt mir also eigentlich nur noch ein Weg, um A abzuleiten, sodass über B zu [mm] $\neg\neg [/mm] B$ komme - falls mein Weg so möglich ist. Ich sehe allerdings nicht, wie ich zu A gelangen soll.
Zu Aufgabe 2:
???
[mm] $\{A\} \vdash [/mm] B [mm] \rightarrow \neg\neg [/mm] B $
[mm] $\{A\} \vdash \neg\neg [/mm] B [mm] \rightarrow (\neg\neg [/mm] (A [mm] \rightarrow B)\rightarrow \neg \neg [/mm] B)$ Axiom 1
[mm] $\{A\} \vdash \neg\neg [/mm] (A [mm] \rightarrow B)\rightarrow \neg \neg [/mm] B$ MP
[mm] $\{A\} \vdash (\neg\neg(A\rightarrow B)\rightarrow \neg\neg B)\rightarrow (\neg [/mm] B [mm] \rightarrow \neg (A\rightarrow [/mm] B))$ Axiom 3
[mm] $\{A\} \vdash \neg [/mm] B [mm] \rightarrow \neg (A\rightarrow [/mm] B)$
[mm] $\vdash [/mm] A [mm] \rightarrow (\neg [/mm] B [mm] \rightarrow \neg (A\rightarrow [/mm] B))$
Auch bei Aufgabe 2 fehlt mir also irgendwie wieder der Weg zu B.
Hat jemand eine Idee, wie ich zur Lösung kommen kann? Sind meine Ansätze überhaupt richtig, oder liegt da schon der Fehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 So 03.12.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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