Beweis mit Eigenwerten < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:08 Do 07.01.2010 | | Autor: | LariC |
Hallo, haben gerade erst Eigenwerte eingefürhrt und ich kann damit noch nicht so richtig umgehen, was könnte ich denn als ersten Zwisxchenschritt nehmen - wie muss ich anfangen und was ist das wichtige dabei?! kann mir da jemand helfen?
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> [mm]A\in[/mm] K^nxn
> zu zeigen ist: Wenn [mm]\lambda \in[/mm] K ein Eigenwert von A und
> v ein zugehhöriger Eigenvektor ist, so ist [mm]\lambda^k[/mm] ein
> Eigenwert von [mm]A^k[/mm] und v ein zugehöriger Eigenvektor für
> jede natürliche Zahl k [mm]\in[/mm] IN
> Hallo, haben gerade erst Eigenwerte eingefürhrt und ich
> kann damit noch nicht so richtig umgehen, was könnte ich
> denn als ersten Zwisxchenschritt nehmen - wie muss ich
> anfangen und was ist das wichtige dabei?! kann mir da
> jemand helfen?
Hallo,
schreib erstmal auf, was es bedeutet, daß [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A ist und v ein zugehöriger Eigenvektor.
Berechne dann mal [mm] A^{2}v, A^{3}v, A^{v}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Do 07.01.2010 | | Autor: | LariC |
Also, laut Definition gilt dann ja:
A(v)= [mm] \lambda*v
[/mm]
Allerdings ist mir jetzt nicht ganz klar, was du mit A^2v meinst, denn dann wäre 2v ja [mm] \in [/mm] IN, und dass muss ja nicht der Fall sein! Und wie soll ich das berechnen - habe das irgendwie noch nicht so kapiert!
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> Also, laut Definition gilt dann ja:
> A(v)= [mm]\lambda*v[/mm]
>
> Allerdings ist mir jetzt nicht ganz klar, was du mit A^2v
Hallo,
ich meine [mm] A^{2}v=A*A*v.
[/mm]
Gruß v. Angela
> meinst, denn dann wäre 2v ja [mm]\in[/mm] IN, und dass muss ja
> nicht der Fall sein! Und wie soll ich das berechnen - habe
> das irgendwie noch nicht so kapiert!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Do 07.01.2010 | | Autor: | LariC |
Achso - dann müsste das folgendes sein(wenn es da nicht wieder irgendeinen Speialfall für matrizenmult. zu beachten gibt :( ):
[mm] A*v=\lambda*v
[/mm]
A*A*v= [mm] \lambda [/mm] *v*A
A*A*A*v= [mm] \lambda*v*A*A
[/mm]
[mm] A^v*v=\lambda [/mm] *v*A^(v-1)
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Hallo LariC,
> Achso - dann müsste das folgendes sein(wenn es da nicht
> wieder irgendeinen Speialfall für matrizenmult. zu
> beachten gibt :( ):
> [mm]A*v=\lambda*v[/mm]
> A*A*v= [mm]\lambda[/mm] *v*A
> A*A*A*v= [mm]\lambda*v*A*A[/mm]
> [mm]A^v*v=\lambda[/mm] *v*A^(v-1)
>
hmm...
Es ist doch [mm] $\red{A^2v}=A(Av)=A(\lambda v)=\lambda(Av)=\lambda(\lambda v)=\red{\lambda^2 v}$
[/mm]
Also [mm] $\lambda^2$ [/mm] Eigenwert zu [mm] $A^2$
[/mm]
[mm] $\red{A^3v}=A^2(Av)=A^2(\lambda v)=\lambda A(Av)=\lambda A(\lambda v)=\lambda^2(Av)=\red{\lambda^3 v}$ [/mm] usw.
Also [mm] $\lambda^3$ [/mm] EW zu [mm] $A^3$
[/mm]
Nun bastel mal einen netten Induktionsbeweis daraus, das Verfahren sollte nun klar sein ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:05 Do 07.01.2010 | | Autor: | LariC |
Ja...klar so ist es einleuchtend - habe mich mittlerweile auch bei wiki schlauer gelesen - sollte das jetzt wohl hinbekommen - danke euch!
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