Beweis limes & metr. Raum < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen
Muss folgende Aufgabe lösen:
Es sei (X,d), X [mm] \not= \emptyset [/mm] ein metrischer Raum und [mm] (x_{n})_{n \in \IN} [/mm] und [mm] (y_{n})_{n \in \IN} [/mm] Folgen in X.
Zeigen Sie: Gibt es ein a [mm] \in [/mm] X, so dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = a = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} y_{n}, [/mm]
dann folgt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} d(x_{n},y_{n})=0
[/mm]
Gilt auch die Umkehrung? (Beweis oder Gegenbeispiel)
Habe keine Ahnung was ich damit anfangen soll, vor allem wie soll ich das beweisen? Kann mir jemand Starthilfe geben?
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Di 15.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen
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> Muss folgende Aufgabe lösen:
> Es sei (X,d), X [mm]\not= \emptyset[/mm] ein metrischer Raum und
> [mm](x_{n})_{n \in \IN}[/mm] und [mm](y_{n})_{n \in \IN}[/mm] Folgen in X.
> Zeigen Sie: Gibt es ein a [mm]\in[/mm] X, so dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}[/mm] = a =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_{n},[/mm]
> dann folgt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} d(x_{n},y_{n})=0[/mm]
> Gilt auch
> die Umkehrung? (Beweis oder Gegenbeispiel)
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> Habe keine Ahnung was ich damit anfangen soll,
> vor allem
> wie soll ich das beweisen? Kann mir jemand Starthilfe
> geben?
Dreiecksungleichung: 0 [mm] \le d(x_n,y_n) \le d(x_n,a)+d(a,y_n).
[/mm]
FRED
>
> Liebe Grüsse
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Hallo Fred
Hätte vielleicht noch erwähnen sollen, dass ich mir nichts unter [mm] d(x_n,y_n) [/mm] vorstellen kann. Könntest du mir das erklären?
Gilt z.B. wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = a dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} d(x_n,a)=0 [/mm] ?
Liebe Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Di 15.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred
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> Hätte vielleicht noch erwähnen sollen, dass ich mir
> nichts unter [mm]d(x_n,y_n)[/mm] vorstellen kann. Könntest du mir
> das erklären?
Mach Dich so umgehend wie geschwind mit den Grundbegriffen in metrischen Räumen vertraut !
http://de.wikipedia.org/wiki/Metrischer_Raum
> Gilt z.B. wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] = a dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} d(x_n,a)=0[/mm] ?
Definition:
Ist (X,d) ein metrischer Raum und [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in X, so nennt man [mm] (x_n) [/mm] konvergent, wenn es ein a [mm] \in [/mm] X gibt mit
[mm] d(x_n,a) \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
In diesem Fall ist a eindeitig bestimmt und man schreibt:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = a $
FRED
>
> Liebe Grüsse
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Hallo Fred
Zurück zur Aufgabe:
Da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = a [mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} d(x_n,a)=0
[/mm]
und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} y_n [/mm] = a [mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} d(a,y_n)=0
[/mm]
Dreiecksungleichung:
0 [mm] \le \limes_{n\rightarrow\infty}d(x_n,y_n) \le \limes_{n\rightarrow\infty}d(x_n,a)+\limes_{n\rightarrow\infty}d(a,y_n)=0+0 \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}d(x_n,y_n) [/mm] = 0
Stimmt das so?
Und wie sieht es mit der Umkehrung aus? Die sollte doch eigentlich auch stimmen, oder nicht?
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 Di 15.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich denke, dass du das nicht so mit dem lim schreiben kannst sondern mit der Def. des lim mit N und [mm] \epsilon. [/mm] sonst musst du zuerst die Dreicksungleichung für lim allgemein zeigen.
Zur anderen Frage: formuliere zuerst die Umkehrung!
Gruß leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Di 15.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred
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> Zurück zur Aufgabe:
> Da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] = a [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} d(x_n,a)=0[/mm]
>
> und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_n[/mm] = a [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} d(a,y_n)=0[/mm]
>
> Dreiecksungleichung:
> 0 [mm]\le \limes_{n\rightarrow\infty}d(x_n,y_n) \le \limes_{n\rightarrow\infty}d(x_n,a)+\limes_{n\rightarrow\infty}d(a,y_n)=0+0 \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}d(x_n,y_n)[/mm]
> = 0
>
> Stimmt das so?
> Und wie sieht es mit der Umkehrung aus? Die sollte doch
> eigentlich auch stimmen,
Nein,tut sie nicht !
FRED
> oder nicht?
>
> Liebe Grüsse
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Hallo Fred
> > Hallo Fred
> >
> > Zurück zur Aufgabe:
> > Da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] = a [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} d(x_n,a)=0[/mm]
>
> >
> > und
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_n[/mm] = a [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} d(a,y_n)=0[/mm]
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> >
> > Dreiecksungleichung:
> > 0 [mm]\le \limes_{n\rightarrow\infty}d(x_n,y_n) \le \limes_{n\rightarrow\infty}d(x_n,a)+\limes_{n\rightarrow\infty}d(a,y_n)=0+0 \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}d(x_n,y_n)[/mm]
> > = 0
> >
> > Stimmt das so?
> > Und wie sieht es mit der Umkehrung aus? Die sollte doch
> > eigentlich auch stimmen,
>
>
> Nein,tut sie nicht !
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Und wieso nicht? Kannst du mir ein Gegenbeispiel nennen?
> FRED
>
> > oder nicht?
> >
> > Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:53 Do 17.10.2013 | | Autor: | fred97 |
Nimm X= [mm] \IR, [/mm] d(x,y)=|x-y| und irgendeine divergente Folge [mm] (x_n) [/mm] in X.
Setze [mm] y_n:=x_n
[/mm]
FRED
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