Beweis: injektive Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Do 03.11.2005 | | Autor: | Kati |
Ich habe diese Frage noch in keinem Internetforum gestellt.
Hi...
Ich hab hier ein ähnliches Problem wie bei meiner letzten Frage. Ich soll folgendes Beweisen
Sei f: A [mm] \to [/mm] B eine Abbildung
z. z. f ist injektiv genau dann, wenn eine Abbildung j: B [mm] \to [/mm] A existiert mit j [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_{A}
[/mm]
Hier erstmal wieder eine Frage.
Wenn f injektiv ist, kann es ja sein, dass es ein b [mm] \in [/mm] B gibt mit keinem passenden a [mm] \in [/mm] A , oder? Das würde doch aber auch wieder heißen, dass j gar keine Abbildung wäre, weil man nicht jedem b ein a zuordnen kann...
Und ich könnte auch noch mal nen Beweis gebrauchen...
Ein Ansatz wär schonmal besser als gar nichts.
Gruß Kati
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Do 03.11.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
die Aussage besagt doch, dass es eine Abbildung j geben muss, so dass...
Sie sagt nicht, dass j schon eindeutig aus f folgt oder sowas.
wähle für j folgende Abbildung:
1) j(y)=x , wenn f(x)=y (also für alle Elemente des Bildes)
2) j(y')=0 , wenn y' nicht im Bild von f... (0 wurde beliebig gewählt)
dies aber nur zur Vorstellung...
du musst nun noch beide Richtungen der Aussage beweisen
(eine Richtung kann man schon fast mit obiger Definition von j abschließen)
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:50 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Kati |
Gut mein Missverständnis mit dem j hab ich jetzt verstanden
Ich hab den Beweis mal versucht:
1) sei f injektiv
z. z. es ex. eine Abbildung j: B [mm] \to [/mm] A mit j [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_{A}
[/mm]
Ich definiere:
- j ( b ) := a , falls f ( a ) = b
- j ( b ) := [mm] a_{0} [/mm] , für alle b [mm] \in [/mm] B \ f ( a )
z. z. j [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_{A}
[/mm]
also z. z. für alle a [mm] \in [/mm] A gilt ( j [mm] \circ [/mm] f ) ( a ) = [mm] id_{A} [/mm] ( a )
sei b \ in B. Also ( a , f ( a ) ) [mm] \in [/mm] f , also b = f ( a )
j ( f ( a ) ) = j ( b ) = a = [mm] id_{A} [/mm] ( a )
2) Es gelte eine Abb. j: B [mm] \to [/mm] A mit j [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_{A}
[/mm]
z. z. f ist injektiv ( für alle a [mm] \in [/mm] A und für alle a' [mm] \in [/mm] A mit
f ( a ) = f' ( a ) gilt a = a'
sei a [mm] \in [/mm] A und a' [mm] \in [/mm] A mit f ( a ) = f' ( a )
so ist a = [mm] id_{A} [/mm] ( a ) = j ( f ( a ) ) = j ( f ( a' ) ) = [mm] id_{A} [/mm] ( a' ) = a'
also ist f injektiv
Ist das so okay?
Mir ist hier nur immernoch net ganz klar.... genauso wie bei dem Beweis von injektiv, wieso ich nicht zeigen muss, dass j eine Abbildung ist.
Unser Prof hat uns einen Beweis vorgeführt wo er folgendes bewiesen hat :
f ist bijektiv genau dann wenn genau eine Abb. j: B [mm] \to [/mm] A ex. mit: f [mm] \circ [/mm] j = [mm] id_{B} [/mm] und j [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_{A} [/mm]
Hierbei hat er auch erst j definiert und dann bewiesen, dass j eine Abbildung ist. Das ist doch bei diesem Beweis auch nichts anderes oder doch?
Gruß Kati
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Fr 04.11.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Kati!
> 1) sei f injektiv
> z. z. es ex. eine Abbildung j: B [mm]\to[/mm] A mit j [mm]\circ[/mm] f =
> [mm]id_{A}[/mm]
>
> Ich definiere:
> - j ( b ) := a , falls f ( a ) = b
> - j ( b ) := [mm]a_{0}[/mm] , für alle b [mm]\in[/mm] B \ f ( a )
>
> z. z. j [mm]\circ[/mm] f = [mm]id_{A}[/mm]
> also z. z. für alle a [mm]\in[/mm] A gilt ( j [mm]\circ[/mm] f ) ( a )
> = [mm]id_{A}[/mm] ( a )
> sei b \ in B. Also ( a , f ( a ) ) [mm]\in[/mm] f , also b = f
> ( a )
> j ( f ( a ) ) = j ( b ) = a = [mm]id_{A}[/mm] ( a )
Ehm... Ehrlich gesagt, ich versteh deine Argumentation nicht so ganz. Was meinst du mit [mm] $(a,f(a))\in [/mm] f$? Und warum wählst du b beliebig? Die Aussage soll ja für alle a gelten, also musst du a beliebig wählen. Dann gilt [mm] $\exists [/mm] b [mm] \in [/mm] B: f(a)=b$ also [mm] $j(f(a))=j(b)=a=id_A(a)$ [/mm] nach Definition von j.
Ok?
> 2) Es gelte eine Abb. j: B [mm]\to[/mm] A mit j [mm]\circ[/mm] f = [mm]id_{A}[/mm]
> z. z. f ist injektiv ( für alle a [mm]\in[/mm] A und für alle
> a' [mm]\in[/mm] A mit
> f ( a ) = f' ( a ) gilt a = a'
> sei a [mm]\in[/mm] A und a' [mm]\in[/mm] A mit f ( a ) = f' ( a )
> so ist a = [mm]id_{A}[/mm] ( a ) = j ( f ( a ) ) = j ( f ( a' )
> ) = [mm]id_{A}[/mm] ( a' ) = a'
> also ist f injektiv
Prima 
> Mir ist hier nur immernoch net ganz klar.... genauso wie
> bei dem Beweis von injektiv, wieso ich nicht zeigen muss,
> dass j eine Abbildung ist.
> Unser Prof hat uns einen Beweis vorgeführt wo er folgendes
> bewiesen hat :
>
> f ist bijektiv genau dann wenn genau eine Abb. j: B [mm]\to[/mm] A
> ex. mit: f [mm]\circ[/mm] j = [mm]id_{B}[/mm] und j [mm]\circ[/mm] f = [mm]id_{A}[/mm]
>
> Hierbei hat er auch erst j definiert und dann bewiesen,
> dass j eine Abbildung ist. Das ist doch bei diesem Beweis
> auch nichts anderes oder doch?
Ja das stimmt, das ist hier aber nicht schwer, schreib einfach in zwei Sätzen auf, warum die Abbildung wohldefiniert ist (sprich jedes Element aus B wird genau einem Element aus A zugeordnet).
Gruß taura
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Kati |
Da hab ich Quatsch geschrieben stimmt. Den Rest versteh ich.
Vielen Dank für Deine Hilfe!
Gruß Kati
|
|
|
|
