Beweis ggt < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sind a,b,c ganze Zahlen mit ggt(b,c) = 1, dann ist ggt(a,bc) = ggt(a,b)ggt(a,c). |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo Leute,
ich versuche diese doch recht einfach aussehende Behauptung zu beweisen, komme aber irgendwie nicht auf einen grünen Zweig. Ich habe folgende Idee gehabt:
ggt(a,b)= d bedeutet doch, dass es zwei ganze Zahlen gibt, so dass d = sa + tb. Also:
d = ggt(a,b)ggt(a,c)
= (sa + tb)*(xa + yc)
= sxaa + syac + txba + tybc
= sxaa + (syc + txb)a + tybc
= sxaa + a + tybc /denn syc + txb = 1
= a(sxa + 1) + tybc
= a + tybc /denn ggt(a,1) = 1
= ggt(a,bc)
Meine Intuition und nachrechnen, sagt mir dass der Beweis falsch sein muss. Aber wie geht es anders.
Ich würde mich über einen Tip freuen.
Grüße, Steffen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Di 17.04.2007 | | Autor: | wauwau |
wenn du dir die primfaktoren zerlegung von a, b, c notierst, dann siehst du, dass wegen ggT(b,c)=1 b und c keine gemeinsamen Primfaktoren haben
um jetzt die gemeinsamen primfaktoren von a und b.c zu finden, kannst du daher die gemeinsamen Primfaktoren von a und b mit denen von a und c multiplizieren qed.
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