Beweis, ggT, diophantische gl. < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Mo 28.11.2011 | | Autor: | meeri |
| Aufgabe | Beweisen Sie die folgenden Aussagen für a,b,c,x,y,ai [mm] \in \IZ [/mm] mit i= 1, ..., n (n [mm] \in \IN) [/mm] und nicht alle ai= 0 sowie c [mm] \not= [/mm] 0:
1) ggT (a,b) = ax+by [mm] \Rightarrow [/mm] ggT (x,y) =1
2) ggT (c*a1, ..., c*an) = |c| * ggT (a1, ..., an) |
alsooo an sich ist das ja logisch..^^ nur wie beweis ich das?
zu 1) da ggT (x,y)=1 sind x und y ja teilerfremd...
ach man :( ich hab absolut keine ahnung.. wir hatten noch die aufgabe: ax+ by= 1 [mm] \Rightarrow [/mm] x,y teilerfremd. die konnte ich lösen (also zumindest glaube ich, dass ich die richtig hab ;)). aber hier weiß ich nichtmal, wo ich anfangen soll -.-
Hoffe mir kann irgendwer schlaueres als ich helfen^^ :)
Danke schonmal.
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> Beweisen Sie die folgenden Aussagen für a,b,c,x,y,ai [mm]\in \IZ[/mm]
> mit i= 1, ..., n (n [mm]\in \IN)[/mm] und nicht alle ai= 0 sowie c
> [mm]\not=[/mm] 0:
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> 1) ggT (a,b) = ax+by [mm]\Rightarrow[/mm] ggT (x,y) =1
grobe Skizze:
Der Fall ggT(a,b)=1 ist der Satz von Bezout. Im Fall ggT(a,b) kannst du die ganze Gleichung durch ggT(a,b) dividieren. Da a,b,x,y beliebig waren kommst du damit weiter.
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> 2) ggT (c*a1, ..., c*an) = |c| * ggT (a1, ..., an)
> alsooo an sich ist das ja logisch..^^ nur wie beweis ich
> das?
Es gilt ggT(a,b,c)=ggT(a,ggT(b,c))
Und für den Fall ggT(c*a1,c*a2) findest du ja Faktoren, sodass du diesen ggT als Linearkombi darstellen kannst.
Jetzt musst du noch zeigen, dass auch c*ggT(a1,a2) die gleiche Linearkombination hat.
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> zu 1) da ggT (x,y)=1 sind x und y ja teilerfremd...
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> ach man :( ich hab absolut keine ahnung.. wir hatten noch
> die aufgabe: ax+ by= 1 [mm]\Rightarrow[/mm] x,y teilerfremd. die
und a,b teilerfremd!
> konnte ich lösen (also zumindest glaube ich, dass ich die
> richtig hab ;)). aber hier weiß ich nichtmal, wo ich
> anfangen soll -.-
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