Beweis genau eine Nullstelle < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Die Funktion f:(0, [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] f(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] - sin(x) besitzt genau eine Nullstelle. |
Hi,
hab hier folgendes gemacht:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] f(x) = + [mm] \infty, f(\bruch{\pi}{2}) [/mm] < 0.
f ist als Differenz differenzierbarer Funktionen auf dem Intervall (0, [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] differenzierbar.
f'(x) = -( [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] + cos(x)) < 0 für x [mm] \in [/mm] (0, [mm] \bruch{\pi}{2}] \Rightarrow [/mm] f ist auf dem Intervall (0, [mm] \bruch{\pi}{2}] [/mm] streng monoton fallend. Also kann es aufgrund der Monotonie und Stetigkeit nur eine Nullstelle geben. Ist das so richtig? Fehlt etwas? Ist etwas falsch?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Mi 16.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie: Die Funktion f:(0, [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm] -> [mm]\IR,[/mm] f(x)
> = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] - sin(x) besitzt genau eine Nullstelle.
>
> Hi,
>
> hab hier folgendes gemacht:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] f(x) = + [mm]\infty, f(\bruch{\pi}{2})[/mm]
> < 0.
.....also folgt aus dem Zwischenwertsatz, dass f mindestens eine Nullstelle in (0, [mm] \pi/2) [/mm] hat.
> f ist als Differenz differenzierbarer Funktionen auf dem
> Intervall (0, [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm] differenzierbar.
> f'(x) = -( [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm] + cos(x)) < 0 für x [mm]\in[/mm] (0,
> [mm]\bruch{\pi}{2}] \Rightarrow[/mm] f ist auf dem Intervall (0,
> [mm]\bruch{\pi}{2}][/mm] streng monoton fallend. Also kann es
> aufgrund der Monotonie und Stetigkeit nur eine Nullstelle
> geben. Ist das so richtig?
Ja
> Fehlt etwas?
Nein.
> Ist etwas falsch?
Nein.
FRED
>
> LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen Dank.
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