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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Beweis für eine Matrix
Beweis für eine Matrix < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis für eine Matrix: Frage:
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 Do 24.02.2005
Autor: star_sailor

wunderschönen guten Tag aus SChottland. Ich hab da mal eine Frage:
ich soll für die allgemeine Matrix A =   [mm] \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} [/mm]
beweisen, dass wenn für die matrix die eigenwertformel von
[mm] \lambda^n [/mm] + [mm] \alpha_1*\lambda^{n-1}+...+\alpha_n_-_1*\lambda+\alpha_n=0 [/mm]  gilt,

[mm] A^n+\alpha_1*A^{n-1} +...+\alpha_n_-_1*A+\alpha_n [/mm] = 0 ebenso gültig ist...

wie kann ich das beweisen?? hab schon mehrere anläufe versucht, aber keiner hat mich zum Erfolg gebracht...

danke
#
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Beweis für eine Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 Do 24.02.2005
Autor: Julius

Hallo Ronny!

[willkommenmr]

Im allgemeinen Fall verbirgt sich dahinter der Satz von Cayley-Hamilton, dessen Beweis für die Schule sicherlich zu schwierig ist.

Im Falle einer $(2 [mm] \times [/mm] 2)$-Matrix lässt er sich aber natürlich ohne Weiteres direkt nachprüfen:

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms von [mm] $A=\pmat{a & b \\ c & d}$: [/mm]

[mm] $CP_A(t) [/mm] = [mm] \det\pmat{ a-t & b & c & d-t} [/mm] = (a-t)(s-t) -bc = [mm] t^2 [/mm] - (a+d) [mm] \cdpt [/mm] r + ad-bc$.

Setzt man da nun die Matrix $A$ ein, so folgt:

[mm] $\pmat{a & b \\ c & d}^2 [/mm] - [mm] (a+b)\cdot \pmat{a & b\\ c & d} [/mm] + (ad-bc) [mm] \cdot \pmat{1 & 0 \\ 0 & 1} [/mm] = [mm] \ldots$. [/mm]

Wenn du das nun weiter ausrechnest, wirst du die Nullmatrix erhalten, was auch zu zeigen war. :-)

Viele Grüße an alle BertiMcVogts-Fans ;-)
Julius
Bezug
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