Beweis für eine Gruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Fr 12.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei n eine natürliche Zahl. Für die Permutation [mm] \tau [/mm] in [mm] S_n [/mm] sei [mm] f_\tau : S_n \rightarrow S_n [/mm] definiert durch [mm] f_\tau(\sigma) = \tau \circ \sigma [/mm] für alle [mm] \sigma \in S_n [/mm]
Beweisen Sie, dass [mm] M=\{f_\tau | \tau \in S_n\} [/mm] mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe bildet. |
Guten Abend,
was mir hier schwerfällt (Beweise fallen mir eh schwer) ist die Tatsache, dass [mm] S_n [/mm] eh schon eine sym. Gruppe ist und Kompositionen von Permutationen darin bijektiv. Das bedeutet doch, es gibt ein inverses Element und das neutrale auch und damit ist meine Gruppe doch schon gegeben - was soll ich denn hier beweisen ?
LG, Susanne.
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> Sei n eine natürliche Zahl. Für die Permutation [mm]\tau[/mm] in [mm]S_n[/mm]
> sei [mm]f_\tau : S_n \rightarrow S_n[/mm] definiert durch
> [mm]f_\tau(\sigma) = \tau \circ \sigma[/mm] für alle [mm]\sigma \in S_n[/mm]
>
> Beweisen Sie, dass [mm]M=\{f_\tau | \tau \in S_n\}[/mm] mit der
> Komposition von Abbildungen eine Gruppe bildet.
> Guten Abend,
> was mir hier schwerfällt (Beweise fallen mir eh schwer)
> ist die Tatsache, dass [mm]S_n[/mm] eh schon eine sym. Gruppe ist
> und Kompositionen von Permutationen darin bijektiv. Das
> bedeutet doch, es gibt ein inverses Element und das
> neutrale auch und damit ist meine Gruppe doch schon gegeben
> - was soll ich denn hier beweisen ?
Hallo,
Guck Dir mal die Elemente von M an.
Es ist [mm] M:=\{f_\tau | \tau \in S_n\}.
[/mm]
Welches sind die Objekte, die Elemente, die in M liegen? Es sind Funktionen!!! (Daß sie von [mm] S_n [/mm] nach [mm] S_n [/mm] gehen, ist zunächst zweitrangig, obgleich man es für den Beweis sicher benötigt.)
Du mußt Dir aber zunächst ganz klar machen, daß Du Funktionen zu betrachten hast. Du sollst zeigen, daß die Funktionen dieser Machart zusammen mit [mm] \circ [/mm] eine Gruppe bilden.
Du mußt nun die Gruppenaxiome nachweisen, also die Abgeschlossenheit, Assoziativität, die Existenz des neutralen und inversen Elementes. Unterwegs wirst Du natürlich auf Eigenschaften v. [mm] S_n [/mm] zurückgreifen, aber hantieren tust Du zunächst mit Funktionen.
Zur Abgeschlossenheit:
Hier nimmst Du Dir zwei Elemente aus M, etwas [mm] f_{\tau_1} [/mm] und [mm] f_{\tau_2} [/mm] mit [mm] \tau_1, \tau_2 \in S_n.
[/mm]
Nun mußt Du irgendwie zeigen, daß [mm] f_{\tau_1} \circ f_{\tau_2} [/mm] auch in M liegt, also geschrieben werden kann [mm] alsf_{irgendwas}, [/mm] wobei das irgendwas in [mm] S_n [/mm] ist.
Am besten machst Du nun erste Versuche, morgen können wir dann weitersehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Fr 12.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
> Es ist [mm]M:=\{f_\tau | \tau \in S_n\}.[/mm]
>
> Welches sind die Objekte, die Elemente, die in M liegen? Es
> sind Funktionen!!! (Daß sie von [mm]S_n[/mm] nach [mm]S_n[/mm] gehen, ist
Hallo Angela, auweia, stimmt !
> Du mußt nun die Gruppenaxiome nachweisen, also die
> Abgeschlossenheit, Assoziativität, die Existenz des
> neutralen und inversen Elementes. Unterwegs wirst Du
> natürlich auf Eigenschaften v. [mm]S_n[/mm] zurückgreifen, aber
> hantieren tust Du zunächst mit Funktionen.
>
> Zur Abgeschlossenheit:
>
> Hier nimmst Du Dir zwei Elemente aus M, etwas [mm]f_{\tau_1}[/mm]
> und [mm]f_{\tau_2}[/mm] mit [mm]\tau_1, \tau_2 \in S_n.[/mm]
>
> Nun mußt Du irgendwie zeigen, daß [mm]f_{\tau_1} \circ f_{\tau_2}[/mm]
> auch in M liegt, also geschrieben werden kann als
> [mm]\f_{irgendwas},[/mm] wobei das irgendwas in [mm]S_n[/mm] ist.
[mm](f_{\tau_1} \circ f_{\tau_2})(\sigma) = f_{\tau_1}(f_{\tau_2}(\sigma)) = f_{\tau_1}(\tau \circ \sigma) = \tau \circ \tau \circ \sigma [/mm]
So ?
Danke, Susanne
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> > Zur Abgeschlossenheit:
> >
> > Hier nimmst Du Dir zwei Elemente aus M, etwas [mm]f_{\tau_1}[/mm]
> > und [mm]f_{\tau_2}[/mm] mit [mm]\tau_1, \tau_2 \in S_n.[/mm]
> >
> > Nun mußt Du irgendwie zeigen, daß [mm]f_{\tau_1} \circ f_{\tau_2}[/mm]
> > auch in M liegt, also geschrieben werden kann als
> > [mm]\f_{irgendwas},[/mm] wobei das irgendwas in [mm]S_n[/mm] ist.
>
> [mm](f_{\tau_1} \circ f_{\tau_2})(\sigma) = f_{\tau_1}(f_{\tau_2}(\sigma)) = f_{\tau_1}(\tau \circ \sigma) = \tau \circ \tau \circ \sigma[/mm]
> So?
Schon ziemlich gut!
[mm] (f_{\tau_1} \circ f_{\tau_2})(\sigma) [/mm] = [mm] f_{\tau_1}(f_{\tau_2}(\sigma)) [/mm] = [mm] f_{\tau_1}(\tau_2 \circ \sigma) [/mm]
= [mm] \tau_1 \circ (\tau_2 \circ \sigma)
[/mm]
[mm] =(\tau_1 \circ \tau_2)\circ \sigma [/mm] (denn [mm] (S_n, \circ) [/mm] ist eine Gruppe
[mm] =f_{\tau_1 \circ \tau_2}(\sigma) [/mm]
Also ist für alle [mm] \sigma \in S_n (f_{\tau_1} \circ f_{\tau_2})(\sigma) =f_{\tau_1 \circ \tau_2}(\sigma) [/mm] ,
also [mm] f_{\tau_1} \circ f_{\tau_2}=f_{\tau_1 \circ \tau_2}, [/mm] und wegen [mm] \tau_1 \circ \tau_2 \in S_n [/mm] ist [mm] f_{\tau_1 \circ \tau_2}\in [/mm] M.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Sa 13.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela,
VIELEN DANK !
> > [mm](f_{\tau_1} \circ f_{\tau_2})(\sigma) = f_{\tau_1}(f_{\tau_2}(\sigma)) = f_{\tau_1}(\tau \circ \sigma) = \tau \circ \tau \circ \sigma[/mm]
>
> > So?
>
> Schon ziemlich gut!
freu freu freu - das hatte ich ja noch nie !
>
> [mm](f_{\tau_1} \circ f_{\tau_2})(\sigma)[/mm] =
> [mm]f_{\tau_1}(f_{\tau_2}(\sigma))[/mm] = [mm]f_{\tau_1}(\tau_2 \circ \sigma)[/mm]
>
> = [mm]\tau_1 \circ (\tau_2 \circ \sigma)[/mm]
>
> [mm]=(\tau_1 \circ \tau_2)\circ \sigma[/mm] (denn [mm](S_n, \circ)[/mm]
> ist eine Gruppe
>
> [mm]=f_{\tau_1 \circ \tau_2}(\sigma)[/mm]
Ist damit die Assoziativität nicht auch schon gezeigt ?
Dann fehlt noch das neutrale und inverse Element:
Da [mm](S_n, \circ)[/mm] eine Gruppe ist, gibt es hier auch ein neutrales und inverses Element.
Das bedeutet, es gibt ein [mm] f_\tau_1 \circ f_\tau_2 = id_{s_n} [/mm], d.h eine Abbildung [mm] f_{\tau}^-1 [/mm] die das inverse Element in dieser Gruppe darstellt und [mm] id_{s_n} [/mm], die das neutrale Element ist.
So ?
Danke, Susanne.
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> > [mm](f_{\tau_1} \circ f_{\tau_2})(\sigma)[/mm] =
> > [mm]f_{\tau_1}(f_{\tau_2}(\sigma))[/mm] = [mm]f_{\tau_1}(\tau_2 \circ \sigma)[/mm]
> >
> > = [mm]\tau_1 \circ (\tau_2 \circ \sigma)[/mm]
> >
> > [mm]=(\tau_1 \circ \tau_2)\circ \sigma[/mm] (denn [mm](S_n, \circ)[/mm]
> > ist eine Gruppe
> >
> > [mm]=f_{\tau_1 \circ \tau_2}(\sigma)[/mm]
>
> Ist damit die Assoziativität nicht auch schon gezeigt ?
Hallo,
nein, keinesfalls!
Wir haben verwendet, daß in [mm] S_n [/mm] das Assoziativgesetz gilt, aber wir interessieren uns ja jetzt für Funktionen.
Das Assoziativgesetz mußt Du zeigen, indem Du Dir drei beliebige Funktionen aus M hernimmst.
>
> Dann fehlt noch das neutrale und inverse Element:
Genau.
> Da [mm](S_n, \circ)[/mm] eine Gruppe ist, gibt es hier auch ein
> neutrales und inverses Element.
> Das bedeutet, es gibt ein [mm]f_\tau_1 \circ f_\tau_2 = id_{s_n} [/mm],
> d.h eine Abbildung [mm]f_{\tau}^-1[/mm] die das inverse Element in
> dieser Gruppe darstellt und [mm]id_{s_n} [/mm], die das neutrale
> Element ist.
>
> So ?
Nein, so nicht, obgleich die richtigen Gedanken dahinterstecken.
Ich weiß nicht, wie Ihr das neutrale Element in [mm] S_n [/mm] bezeichnet. Mit id vielleicht?
Dann tue folgendes:
[mm] S_n [/mm] ist eine Gruppe, also gibt es hier ein neutrales Element, id.
Und nun zeigst Du, daß für alle [mm] f_{\tau}\in [/mm] M gilt: [mm] f_{id}\circ f_{\tau}=f_{\tau}\circ f_{id}=f_{\tau}.
[/mm]
Fürs Inverse dann so ähnlich.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Sa 13.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo und DANKE !
> Wir haben verwendet, daß in [mm]S_n[/mm] das Assoziativgesetz gilt,
> aber wir interessieren uns ja jetzt für Funktionen.
>
> Das Assoziativgesetz mußt Du zeigen, indem Du Dir drei
> beliebige Funktionen aus M hernimmst.
>
Neuer Ansatz:
[mm] f_{\tau_1} \circ (f_{\tau_2} \circ f_{\tau_3})(\sigma) = [/mm]
[mm] f_{\tau_1} \circ (f_{\tau_2} \circ (f_{\tau_3}(\sigma))) = [/mm]
[mm] f_{\tau_1} \circ (f_{\tau_2} (\tau_3 \circ \sigma)) = [/mm]
[mm] f_{\tau_1} \circ (\tau_2 \circ (\tau_3 \circ \sigma)) = [/mm]
[mm] (\tau_1 \circ \tau_2 \circ \tau_3 \circ \sigma) = [/mm]
[mm] ((\tau_1 \circ \tau_2) \circ (f_{\tau_3}(\sigma))) = [/mm]
[mm] ((f_{\tau_1} \circ f_{\tau_2}) \circ f_\tau_3)(\sigma) [/mm]
[mm] (f_{\tau_1} \circ f_{\tau_2}) \circ f_\tau_3(\sigma) [/mm]
und das alles wegen dem Assoziativgesetz in [mm](S_n, \circ)[/mm]
> Ich weiß nicht, wie Ihr das neutrale Element in [mm]S_n[/mm]
> bezeichnet. Mit id vielleicht?
>
> Dann tue folgendes:
>
> [mm]S_n[/mm] ist eine Gruppe, also gibt es hier ein neutrales
> Element, id.
>
> Und nun zeigst Du, daß für alle [mm]f_{\tau}\in[/mm] M gilt:
> [mm]f_{id}\circ f_{\tau}=f_{\tau}\circ f_{id}=f_{\tau}.[/mm]
[mm]f_{id}\circ f_{\tau}=f_{id}(\tau \circ \sigma) = \tau \circ \tau \circ \sigma = f_{\tau} [/mm]
> Fürs Inverse dann so ähnlich.
[mm] f_{inv} \circ f_r = f_{id} [/mm]
Das bedeutet:
[mm] f_{\tau}^{-1} \circ f_{\tau} (\sigma) = (f_{\tau}^{-1} \circ f_{\tau}) (\sigma) = f_{id}(\sigma) [/mm]
Ich fürchte, so ganz richtig ist das noch nicht ..??
Danke, Susanne.
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> Neuer Ansatz:
Hallo,
am Anfang kullert's hier zu stark. Es ist ja [mm] (f\circ [/mm] g)(x)=f(g(x)) - und nicht etwa [mm] f\circ [/mm] g(x). Mach Dir das in Ruhe klar, möglicherweise ist's aber nur ein Fehler, der durch die Eingabe per Tastatur kommt und Dir handschriftlich nicht unterlaufen wäre.
Ich korrigiere es direkt unter der verkehrten Zeile.
> [mm]f_{\tau_1} \circ (f_{\tau_2} \circ f_{\tau_3})(\sigma) =[/mm]
>
> [mm]f_{\tau_1} \circ (f_{\tau_2} \circ (f_{\tau_3}(\sigma))) =[/mm]
[mm] f_{\tau_1} ((f_{\tau_2} \circ f_{\tau_3})(\sigma))
[/mm]
>
> [mm]f_{\tau_1} \circ (f_{\tau_2} (\tau_3 \circ \sigma)) =[/mm]
[mm] f_{\tau_1}(f_{\tau_2} (\tau_3 \circ \sigma))
[/mm]
>
> [mm]f_{\tau_1} \circ (\tau_2 \circ (\tau_3 \circ \sigma)) =[/mm]
[mm] f_{\tau_1}(\tau_2 \circ (\tau_3 \circ \sigma)) [/mm]
An dieser Stelle machst Du zu schnell weiter.
Du mußt Klammern setzten! Wir haben die Verknüfung von 3 oder mehr Elementen aus [mm] S_n [/mm] ja gar nicht erklärt!
Also
[mm] =\tau_1\circ (\tau_2 \circ (\tau_3 \circ \sigma)) [/mm] , und nun mußt Du erstmal streng mit dem Assoziativgesetz in [mm] S_n [/mm] die Klammer wandern lassen:
[mm] =(\tau_1\circ \tau_2)\circ(\tau_3 \circ \sigma))
[/mm]
> [mm]((\tau_1 \circ \tau_2) \circ (f_{\tau_3}(\sigma))) =[/mm]
[mm] =f_{\tau_1 \circ \tau_2}(f_{\tau_3}(\sigma)))
[/mm]
[mm] =(f_{\tau_1} \circf_{ \tau_2})(f_{\tau_3}(\sigma))) [/mm] = (Das hattest Du bei der Abgeschlössenheit gezeigt.)
>
> [mm](f_{\tau_1} \circ f_{\tau_2}) \circ f_\tau_3(\sigma)[/mm]
> > Dann tue folgendes:
> >
> > [mm]S_n[/mm] ist eine Gruppe, also gibt es hier ein neutrales
> > Element, id.
> >
> > Und nun zeigst Du, daß für alle [mm]f_{\tau}\in[/mm] M gilt:
> > [mm]f_{id}\circ f_{\tau}=f_{\tau}\circ f_{id}=f_{\tau}.[/mm]
>
> [mm]f_{id}\circ f_{\tau}=f_{id}(\tau \circ \sigma) = \tau \circ \tau \circ \sigma = f_{\tau}[/mm]
Hier vermute ich lediglich Flüchtigkeitsfehler.
Für alle [mm] \sigma \in S_n [/mm] gilt
[mm] (f_{id}\circ f_{\tau})(\sigma)=f_{id}(f_{\tau}(\sigma))=f_{id}(\tau \circ \sigma)=id \circ (\tau \circ \sigma)=(\tau \circ \sigma)=f_{\tau}(\sigma)
[/mm]
Also ist [mm] f_{id}\circ f_{\tau}=f_{\tau}
[/mm]
(Die Funktionen stimmen an jeder Stelle überein, sind also gleich.)
>
> > Fürs Inverse dann so ähnlich.
> [mm]f_{inv} \circ f_r = f_{id}[/mm]
> Das bedeutet:
> [mm]f_{\tau}^{-1} \circ f_{\tau} (\sigma) = (f_{\tau}^{-1} \circ f_{\tau}) (\sigma) = f_{id}(\sigma)[/mm]
>
> Ich fürchte, so ganz richtig ist das noch nicht ..??
Die Bezeichnung inv ist nicht sehr geschickt, denn das inverse Element ist ja nicht DAS inverse Element der Gruppe, sondern das Inverse zu einem bestimmten Element. Du kannst (und solltest) das inverse Element zu [mm] \tau [/mm] z.B. mit [mm] \tau^{-1} [/mm] benennen. (Oder mit [mm] ##_{\tau}, [/mm] wenn's Dir besonders gut gefällt. Wichtig ist ein Bezug zum Element [mm] \tau.)
[/mm]
Ein weiteres Problem: Du führst [mm] f_{\tau}^{-1} [/mm] ein. Was soll das sein? Ist nicht definiert! - Ich beginne zu ahnen: Dir hat wohl nur der Formeleditor einen Streich gespielt?
Richtig wäre dies:
Sei [mm] f_{\tau} \in [/mm] M.
Zu jedem [mm] \tau [/mm] gibt es in [mm] S_n [/mm] ein Inverses [mm] \tau^{-1}.
[/mm]
Also ist auch [mm] f_{\tau^{-1}}\in [/mm] M.
Sei [mm] \sigma \in S_n.
[/mm]
Es ist
[mm] (f_{\tau^{-1}} \circ f_{\tau}) (\sigma) =f_{\tau^{-1}}(f_{\tau} (\sigma))=f_{\tau^{-1}}(\tau \circ \sigma)=\tau^{-1}\circ (\tau \circ \sigma)= [/mm] (Assoziativgesetz in [mm] S_n) (\tau^{-1}\circ \tau )\circ \sigma=id \circ \sigma= f_{id}(\sigma)
[/mm]
Also ist [mm] f_{\tau^{-1}} \circ f_{\tau}=f_{id}, [/mm] und somit ist [mm] f_{\tau^{-1}} [/mm] das Inverse Element zu [mm] f_{\tau}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 Sa 13.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Liebe Angela,
vielen vielen Dank !
Es ist so merkwürdig, wenn ich die Lösung verstanden habe, scheint sie mir einfach, aber ganz alleine einen Lösungsweg zu finden ist für mich nach wie vor sehr schwer.
Lieben Gruss und danke, Susanne.
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