Beweis für beliebige Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Do 12.07.2007 | | Autor: | Tvenna |
| Aufgabe | Für beliebige Mengen A, B, C gilt:
(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C) = (B [mm] \cup [/mm] C) [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] A = C |
Hallo!
Ich habe folgendes Problem bei dieser Aufgabe:
Ich weiss nicht von wo nach wo ich beweisen muss.
Die Gleichhiet von Mengen zeige ich ja über die Teilmengen , und die Äquivalenz muss ich ja auch in beide Richtungen zeigen.
Muss ich dann also quasi vier Richtingen zeigen?
Erst das = und dann das [mm] \gdw [/mm] beweisen oder geht das auch irgendwie in einem Schritt?
Bin über jeden Tipp dankbar!
Viele Grüsse!
|
|
| |
|
> Für beliebige Mengen A, B, C gilt:
> (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\setminus[/mm] (B [mm]\cap[/mm] C) = (B [mm]\cup[/mm] C) [mm]\setminus[/mm] (A
> [mm]\cap[/mm] B) [mm]\gdw[/mm] A = C
> Hallo!
> Ich habe folgendes Problem bei dieser Aufgabe:
> Ich weiss nicht von wo nach wo ich beweisen muss.
> Die Gleichhiet von Mengen zeige ich ja über die Teilmengen
> , und die Äquivalenz muss ich ja auch in beide Richtungen
> zeigen.
> Muss ich dann also quasi vier Richtingen zeigen?
> Erst das = und dann das [mm]\gdw[/mm] beweisen oder geht das auch
> irgendwie in einem Schritt?
> Bin über jeden Tipp dankbar!
Sicher musst Du [mm] $\Leftarrow$ [/mm] und [mm] $\Rightarrow$ [/mm] beweisen. Die Richtung
[mm](A \cup B) \setminus(B \cap C) = (B \cup C)\setminus (A\cap B)\Leftarrow A = C[/mm]
ist nahezu trivial: Denn Du darfst dann ja $A=C$ annehmen und daher auf der linken Seite überall $C$ durch $A$ ersetzen: Du wirst sehen, dass die resultierende Gleichheit zwischen den beiden Mengen trivial zu beweisen ist (blosse Anwendung der Kommutativität von [mm] $\cup$ [/mm] und [mm] $\cap$).
[/mm]
Für den Beweis der Richtung
[mm](A \cup B) \setminus(B \cap C) = (B \cup C)\setminus (A\cap B)\Rightarrow A = C[/mm]
könnte es eventuell einfacher sein, die Kontraposition
[mm]A\neq C \Rightarrow (A \cup B) \setminus(B \cap C) \neq (B \cup C) \setminus (A \cap B)[/mm]
zu betrachten: Dass also aus [mm] $A\neq [/mm] C$ folge, dass [mm](A \cup B) \setminus(B \cap C) = (B \cup C) \setminus (A \cap B)[/mm] falsch sei. Für den Beweis dieser Kontraposition kannst Du o.B.d.A. annehmen, dass es ein [mm] $x\in A\backslash [/mm] C$ gibt (denn $A$ und $C$ treten in der Behauptung symmetrisch auf, d.h. simultanes Ersetzen von $A$ durch $C$ und $C$ durch $A$ führt beide Seiten der zu beweisenden Äquivalenz in sich selbst über).
Wenn Du diesen Weg versuchst empfehle ich Dir noch folgende Fallunterscheidung zu machen: 1. Fall: [mm] $x\in [/mm] B$, 2. Fall [mm] $x\notin [/mm] B$. In beiden Fällen lässt sich die Gleichheit [mm](A \cup B) \setminus(B \cap C) = (B \cup C) \setminus (A \cap B)[/mm] leicht wiederlegen, indem man nachweist, dass die eine Seite $x$ enthält, die andere aber nicht.
|
|
|
|
