Beweis für Abbildung < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1.
(a) Sei M eine nicht-leere Menge und B(M) die Menge aller bijektiven Abbildungen auf M.
Zeigen Sie: B(M) bildet mit der Hintereinanderausfuhrung von Abbildungen (mit Zeichen [mm] \circ [/mm] ) eine Gruppe.
(b) Geradenspiegelungen sind bijektive Abbildungen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Im Prinzip muss ich bei a und bei b ja zeigen, dass die Abbildung injektiv und surjektiv ist. Aber ich muss gestehen, ich hab keine Ahnung wie ich das machn soll...
Vielen lieben Dank im Vorraus.
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> 1.
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> (a) Sei M eine nicht-leere Menge und B(M) die Menge aller
> bijektiven Abbildungen auf M.
> Zeigen Sie: B(M) bildet mit der Hintereinanderausfuhrung
> von Abbildungen (mit Zeichen [mm]\circ[/mm] ) eine Gruppe.
>
> (b) Geradenspiegelungen sind bijektive Abbildungen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Im Prinzip muss ich bei a und bei b ja zeigen, dass die
> Abbildung injektiv und surjektiv ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Nein, bei a) mußt Du etwas anderes zeigen.
Die Menge B(M), die Du in den Händen hältst, enthält von vornherein nur bijektive Abbildungen auf M.
Zeigen mußt Du nun die Bedingungen für Gruppen.
Z.B.: ist die Hintereinanderausführung zweier Bijektionen wieder eine Bijektion?
Hier mußt Du dann in der Tat nachweisen, daß die Abbildung h:= [mm] f\circ [/mm] g für alle [mm] f,g\in [/mm] B(M) bijektiv ist. Die Bijektivität von f und g steht Dir aber dafür zur Verfügung.
Hmm- da steht zwar Hauptstudium, aber aus der Frage schließe ich, daß Du eben erst begonnen hast mit dem Studium.
Daher noch kleine Hinweise zur allgemeinen Vorgehensweise bei Beweisen.
Schreib genau auf, was Du beweisen willst und übersetze dies in "Mathesprache".
Damit steht bei den Aufgaben meist schon der grobe Fahrplan für das "Wie?".
Hier:
Behauptung: für alle [mm] f,g\in [/mm] B(M) ist h:= [mm] f\circ [/mm] g bijektiv, dh. injektiv und surjektiv
(Nun ein Blick in die Definitionen:)
Hierfür zu zeigen:
1. Injektiv: seinen [mm] x,y\in [/mm] M. Aus h(x)=h(y) folgt x=y
2. Surjektiv; für jedes y [mm] \in [/mm] M findet man ein x in M mit h(x)=y.
(Dann folgt der Beweis. Hier macht man sich am besten erstmal die Voraussetzungen, mit denen man arbeiten darf, klar.)
Beweis: seien [mm] f,g\in [/mm] B(M) bijektiv.
1. Seien x,y [mm] \in [/mm] M und sei h(x)=h(y), dh. f(g(x)) = f(g(y)).
(Verwende nun die Inkjektivität von f, anschließend die Injektivität von g)
2. versuchst Du selber.
--
Es folgt dann die Assoziativität, hier kannst Du Dich sicher darauf berufen, daß Ihr diese Breist für die Hintereinanderausführung von Funktionen gezeigt habt.
Fürs neutrale Element mußt Du eine bijektive Funktion vorzeigen, welche die gestellten Forderungen erfüllt.
Beim inversen mußt Du zu jedem [mm] f\in [/mm] B(M) eine Funktion [mm] \overline{f} [/mm] parat haben, welche mit f verkettet das neutrale Element ergibt.
Überleg Dir, wie die Funktion aussieht, warum sie bijektiv ist, und zeig, daß sie tut, was sie tun soll.
bei (b) mußt Du in der Tat injektiv und surjektiv zeigen.
Nimm eine allgemeine Geradenspiegelung und zeige, daß auf jeden Punkt des Raumes ein Punkt abgebildet wird und daß nicht zwei Punkte auf denselben Punkt des Raumes abgebildet werden.
Gruß v. Angela
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> Die Menge B(M), die Du in den Händen hältst, enthält von
> vornherein nur bijektive Abbildungen auf M.
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> Zeigen mußt Du nun die Bedingungen für Gruppen.
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> Z.B.: ist die Hintereinanderausführung zweier Bijektionen
> wieder eine Bijektion?
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> Hier mußt Du dann in der Tat nachweisen, daß die Abbildung
> h:= [mm]f\circ[/mm] g für alle [mm]f,g\in[/mm] B(M) bijektiv ist. Die
> Bijektivität von f und g steht Dir aber dafür zur
> Verfügung.
>
> Hmm- da steht zwar Hauptstudium, aber aus der Frage
> schließe ich, daß Du eben erst begonnen hast mit dem
> Studium.
> Daher noch kleine Hinweise zur allgemeinen Vorgehensweise
> bei Beweisen.
> Schreib genau auf, was Du beweisen willst und übersetze
> dies in "Mathesprache".
> Damit steht bei den Aufgaben meist schon der grobe Fahrplan
> für das "Wie?".
>
> Hier:
>
> Behauptung: für alle [mm]f,g\in[/mm] B(M) ist h:= [mm]f\circ[/mm] g
> bijektiv, dh. injektiv und surjektiv
>
> (Nun ein Blick in die Definitionen:)
>
> Hierfür zu zeigen:
>
> 1. Injektiv: seinen [mm]x,y\in[/mm] M. Aus h(x)=h(y) folgt x=y
> 2. Surjektiv; für jedes y [mm]\in[/mm] M findet man ein x in M mit
> h(x)=y.
>
> (Dann folgt der Beweis. Hier macht man sich am besten
> erstmal die Voraussetzungen, mit denen man arbeiten darf,
> klar.)
>
> Beweis: seien [mm]f,g\in[/mm] B(M) bijektiv.
>
> 1. Seien x,y [mm]\in[/mm] M und sei h(x)=h(y), dh. f(g(x)) =
> f(g(y)).
>
Da ich ja die Injektivität verwenden soll, heißt das ja ich muss von f(g(x)) = f(g(y)) irgendwie auf x=y kommen muss.
Darf ich das einfach so:
f(g(x)) = f(g(y) |:f
g(x) = g(y) |:g
x = y
????
> (Verwende nun die Inkjektivität von f, anschließend die
> Injektivität von g)
>
> 2. versuchst Du selber.
Probieren geht über studieren xDDD
Hier also mein Versuch:
Seien x,y [mm]\in[/mm] M und sei h(x)=y, dh. f(g(x)) = y.
f(g(x) = y |:f
g(x) = y/f ???? Geht das überhaupt? bzw. was ist das Gegenteil von einem verketten f?
>
>
> --
>
> Es folgt dann die Assoziativität, hier kannst Du Dich
> sicher darauf berufen, daß Ihr diese Breist für die
> Hintereinanderausführung von Funktionen gezeigt habt.
>
> Fürs neutrale Element mußt Du eine bijektive Funktion
> vorzeigen, welche die gestellten Forderungen erfüllt.
>
> Beim inversen mußt Du zu jedem [mm]f\in[/mm] B(M) eine Funktion
> [mm]\overline{f}[/mm] parat haben, welche mit f verkettet das
> neutrale Element ergibt.
> Überleg Dir, wie die Funktion aussieht, warum sie bijektiv
> ist, und zeig, daß sie tut, was sie tun soll.
>
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>
> bei (b) mußt Du in der Tat injektiv und surjektiv zeigen.
>
> Nimm eine allgemeine Geradenspiegelung und zeige, daß auf
> jeden Punkt des Raumes ein Punkt abgebildet wird und daß
> nicht zwei Punkte auf denselben Punkt des Raumes abgebildet
> werden.
>
> Gruß v. Angela
zur b)
Es sei:
eine Gerade g [mm] \subset \nu [/mm] (Ebene)
und ein Punkt A [mm] \in \nu \g
[/mm]
Sei [mm] \nu-> \nu
[/mm]
A |-> A' := Sg(P)
A = A
=> A'=A' --> Injektivität bewiesen
Wenn das stimmt komm ich aber bei der surjektivität nicht weiter. Muss ich da noch irgendwie einbringen, dass g [mm] \perp \overline{AA'} [/mm] oder |AS| = |A'S| (S= Schnittpunkt mit g)???
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> > Hier:
> >
> > Behauptung: für alle [mm]f,g\in[/mm] B(M) ist h:= [mm]f\circ[/mm] g
> > bijektiv, dh. injektiv und surjektiv
> >
> > (Nun ein Blick in die Definitionen:)
> >
> > Hierfür zu zeigen:
> >
> > 1. Injektiv: seinen [mm]x,y\in[/mm] M. Aus h(x)=h(y) folgt x=y
> > 2. Surjektiv; für jedes y [mm]\in[/mm] M findet man ein x in M
> mit
> > h(x)=y.
> >
> > (Dann folgt der Beweis. Hier macht man sich am besten
> > erstmal die Voraussetzungen, mit denen man arbeiten darf,
> > klar.)
> >
> > Beweis: seien [mm]f,g\in[/mm] B(M) bijektiv.
> >
> > 1. Seien x,y [mm]\in[/mm] M und sei h(x)=h(y), dh. f(g(x)) =
> > f(g(y)).
> >
> Da ich ja die Injektivität verwenden soll, heißt das ja ich
> muss von f(g(x)) = f(g(y)) irgendwie auf x=y kommen muss.
> Darf ich das einfach so:
>
> f(g(x)) = f(g(y) |:f
Um Himmelswillen! Was machst Du denn da?
Hast Du ansatzweise eine Ahnung davon, was f(g(x)) bedeutet? Da wird doch nichts multipliziert.
Du mußt an der Stelle mit der Definition der Injektivität arbeiten.
Was folgt denn aus der Injektivität?
> g(x) = g(y) |:g
> x = y
> ????
>
> > (Verwende nun die Inkjektivität von f, anschließend die
> > Injektivität von g)
> >
> > 2. versuchst Du selber.
>
>
> Probieren geht über studieren xDDD
> Hier also mein Versuch:
> Seien x,y [mm]\in[/mm] M und sei h(x)=y, dh. f(g(x)) = y.
Nein, darum geht es doch überhaupt nicht.
Schau Dir an, was Surjektivität bedeutet. Du mußt doch zeigen, daß Du zu vorgegebenem y ein x findest, so daß h(x)=y.
Die Suche nach dem x ist die Aufgabe. Du findest es mithilfe der Surjektivität der beiden Funktionen f,g.
Da f surjektiv, findet man zu y ein x' mit f(x')=y.
Nun weiter mit der Surjektivität von g.
> zur b)
Dazu eventuell später - ich bin gerade in Eile.
Gruß v. Angela
> Es sei:
> eine Gerade g [mm]\subset \nu[/mm] (Ebene)
> und ein Punkt A [mm]\in \nu \g[/mm]
>
> Sei [mm]\nu-> \nu[/mm]
> A |-> A' := Sg(P)
> A = A
> => A'=A' --> Injektivität bewiesen
>
> Wenn das stimmt komm ich aber bei der surjektivität nicht
> weiter. Muss ich da noch irgendwie einbringen, dass g [mm]\perp \overline{AA'}[/mm]
> oder |AS| = |A'S| (S= Schnittpunkt mit g)???
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> zur b)
> Es sei:
> eine Gerade g [mm]\subset \nu[/mm] (Ebene)
> und ein Punkt A [mm]\in \nu \g[/mm]
>
> Sei [mm]\nu-> \nu[/mm]
> A |-> A' := Sg(P)
> A = A
> => A'=A' --> Injektivität bewiesen
Hallo,
ich kann mir auf das, was Du schreibst, nicht recht einen Reim machen.
Vielleicht kannst Du erstmal sagen, in welchem Raum Ihr Euch bewegt? Im [mm] \IR^2?
[/mm]
Wie macht Ihr das mit dem Spiegelungen? Vektoren? Matrizen?
Was habt Ihr bisher über Geradenspiegelungen gehabt? Ich habe im Moment nicht recht eine Vorstellung davon, welches Handwerkszeug Ihr verwendet.
Gruß v. Angela
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> bzw. was ist das
> Gegenteil von einem verketten f?
Hallo,
ich hatte vergessen, hieraus einzugehen.
Das "Gegenteil vom Verketten" wäre die Verkettung mit der Umkehrfunktion.
Ich gehe davon aus, daß Ihr die bisher noch nicht zur verfügung habt, sondern daß Ihr sie im Laufe dieser Aufgabe definieren sollt.
Falls allerdings schon dran war, daß jede Bijektive Funktion eine Umkehrfunktion hat, kannst Du das f durch Verketten mit der Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] wegbekommen:
f(g(x))=f(g(y)) ==> [mm] f^{-1}(f(g(x) [/mm] )= [mm] f^{-1}(f(g(y))) [/mm] ==> g(x)=g(y), und nun dasselbe Spewilchen mit g. (Aber nur, wenn es in der Vorlesung oder sonstwo dran war.)
Wenn es in der VL dran war, brauchst du natürlich beim Nachweisen des Inversen nicht viel zu tun.
Gruß v. Angela
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