Beweis f'(x)=g'(x)=> f(x)=g(x) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 So 15.01.2012 | | Autor: | Gopack |
| Aufgabe | | Seien g1;g2 : [a;b] -> R stetige Funktionen, die beide auf (a;b) differenzierbar sind mit g1' = g2'. Zeigen Sie, dass ein c e R existiert mit g1 = g2+c. |
Also wenn die beiden Funktionen auf [a,b] an allen stellen x die gleiche steigung haben ist der kurvenverlauf der funktionen ja identisch, nur um den wert c nach oben bzw. unten verschoben.
Ich habe nur noch keine idee wie ich das jetzt genau zeigen kann.
Nur für Erst-Poster:
Da du eine deiner ersten Fragen in unserem Forum stellst, würden wir gerne sicher gehen, dass du wenigstens den Abschnitt zu Cross-Postings in unseren Regeln gelesen und verstanden hast.
Schreibe also bitte einen der folgenden Sätze an den Anfang oder das Ende deiner Frage (abtippen oder kopieren):
* Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Sollten wir deine Frage in einem Forum finden, das du hier nicht aufgeführt (oder später ergänzt) hast, werden wir deine Frage nicht unseren hilfsbereiten Mitgliedern vorlegen, sondern die Beantwortung den interessierten Mitgliedern überlassen.
P.S.: Entscheide ggfs. selbst, ob sich die Besucher des fremden Forums über den Hinweis freuen würden, dass die Frage auch hier gestellt wurde.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 So 15.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien g1;g2 : [a;b] -> R stetige Funktionen, die beide auf
> (a;b) differenzierbar sind mit g1' = g2'. Zeigen Sie, dass
> ein c e R existiert mit g1 = g2+c.
>
> Also wenn die beiden Funktionen auf [a,b] an allen stellen
> x die gleiche steigung haben ist der kurvenverlauf der
> funktionen ja identisch, nur um den wert c nach oben bzw.
> unten verschoben.
> Ich habe nur noch keine idee wie ich das jetzt genau
> zeigen kann.
Erstmal: fuehre das ganze auf folgende Aussage zurueck: ist $h : [a, b] [mm] \to \IR$ [/mm] eine stetige Funktion, die auf $(a, b)$ differenzierbar ist mit $h'(x) = 0$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] (a, b)$, dann gibt es ein $c [mm] \in \IR$ [/mm] mit $h(x) = c$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] [a, b]$.
Um diese Aussage zu zeigen, schau dir mal den Mittelwertsatz der Differentialrechnung an.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo gopack und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
1, bitte kopier nicht den ganzen anleitungstext.
der Hinweis nurgends anders geüestet reicht.
kannst du g(x) als g(0)+g'(0)*? darstellen, oder schreib die def. der Ableitung hin und lös nach g(x) auf. natürlich für beide fkt.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 So 15.01.2012 | | Autor: | Gopack |
Ich sage also (g1(x)-g1(˜x))/(x-˜x)=(g2(x)-g2(˜x))/(x-˜x)
nach g1(x) umgestellt : g1(x)=g2(x)-g2(˜x)+g1(˜x)
kann ich mein c als -g2(˜x)+g1(˜x) definiere??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 So 15.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich sage also
> (g1(x)-g1(˜x))/(x-˜x)=(g2(x)-g2(˜x))/(x-˜x)
Warum sollte das gleich sein? Du kannst nicht einfach den Grenzwert weglassen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 So 15.01.2012 | | Autor: | Gopack |
OK das das nicht richtig ist sehe ich ein aber ich weiss nicht wieso ich g(0) benutzen kann, 0 muss ja nicht in (a,b) liegen und was das ganze mit dem mittelwertsatz zu tuhen hat verstehe ich schon garnicht es soll ja für alle x in (a,b) gelten und nicht nur für eins.
Welche definition der Ableitung meinst du denn die ich benutzen kann?
Währe echt nett wenn mir einer noch weiterhelfen könnte
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst nicht g(0) benutzen, nimm eben [mm] g'(x_0) [/mm] entsprechend.
mein vorschlaf war für [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 So 15.01.2012 | | Autor: | Gopack |
Ich glaube ich hab es jetzt:
Sei g:=g1-g2 dann ist ja g'=g1'-g2'=0
Sei x0 e (a,b) fest und x e (a,b) und x ungleich x0
Sei c:=g(x0)
g'(x)=0
=>
E:g(x)-g(x0)/(x-x0)=g'(x)=0
=>
g(x)-g(x0)=0*(x-x0)
=>
g(x)=g(x0)=c
Dadurch ist c konstant auf (a,b)
g(x)=g1(x)-g2(x)
=>c=g1(x)-g2(x)
=>g1(x)=g2(x)+c
Ist das so richtig würde mich über ein kurzes feedback freuen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 So 15.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich glaube ich hab es jetzt:
>
> Sei g:=g1-g2 dann ist ja g'=g1'-g2'=0
>
> Sei x0 e (a,b) fest und x e (a,b) und x ungleich x0
>
> Sei c:=g(x0)
>
> g'(x)=0
> =>
> E:g(x)-g(x0)/(x-x0)=g'(x)=0
Klammern sind was tolles. Vergißt Du sie, so meint Dein Geschreibsel etwas ganz anderes als Du selbst. Linkerhand soll hier sicher
[mm] $$\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}$$
[/mm]
stehen, und wenn Du das ohne Latex/Formeleditor schreibst, dann halt wenigstens so
(g(x)-g(x0))/(x-x0)
Die Idee ist nicht schlecht, die Ausführung leider schon. Warum steht bei Dir denn rechterhand [mm] $g'(x)\,$? [/mm] Das ist ja das gleiche [mm] $x\,$ [/mm] wie links auf dem Bruch. Der MWS sagt da schon was ganz anderes!!
Also:
Folgendes stimmt natürlich: Mit [mm] $g:=g_1-g_2$ [/mm] ist $g'=0$ nach Voraussetzung.
Was ist nun zu zeigen? Etwa: [mm] $g(x)=g(y)\,$ [/mm] für alle $x,y [mm] \in (a,b)\,.$ [/mm] Denn daraus folgt dann [mm] $g=\text{konstant}\,.$ [/mm] Ist Dir das klar? Wenn ja: Dann beweise es. Es geht in einer Zeile!
Und jetzt geht das so ähnlich, wie Du es getan hast: Seien $x,y [mm] \in (a,b)\,.$ [/mm] Wir nehmen o.E. $a < x < y < [mm] b\,$ [/mm] an (falls [mm] $x=y\,$ [/mm] gilt, ist [mm] $g(x)=g(y)\,$ [/mm] klar, und wenn $x [mm] \not=y\,,$ [/mm] so kann entweder $x < [mm] y\,$ [/mm] oder $y < [mm] x\,$ [/mm] gelten - wenn letzteres gilt, vertauschen wir $x [mm] \longleftrightarrow y\,.$) [/mm]
Und jetzt geht's fast genauso weiter wie bei Dir:
Nach dem MWS existiert ein [mm] $\xi=\xi_{x,y}$ [/mm] mit $x < [mm] \xi [/mm] < y$ (beachte $a < x < y < [mm] b\,$) [/mm] so, dass
[mm] $$\frac{g(y)-g(x)}{y-x}=g'(\xi)\,.$$
[/mm]
Und dass nun [mm] $g(y)=g(x)\,$ [/mm] folgt, siehst Du sicher, oder? Also gilt [mm] $g(x)=g(y)\,$ [/mm] für alle $x,y [mm] \in (a,b)\,,$ [/mm] da wir ja $x,y [mm] \in [/mm] (a,b)$ beliebig gewählt hatten.
Und jetzt kommt der Part, den ich oben geschrieben hatte: Folgere damit nun, dass [mm] $g=\text{konstant}$ [/mm] sein muss.
Anleitung: Halte ein [mm] $y=y_0 \in [/mm] (a,b)$ fest (wenn man das, wenn auch unnötig, noch stärker hervorheben will, kann man etwa [mm] $y:=y_0:=(a+b)/2$ [/mm] betrachten) und betrachte dann $x [mm] \in [/mm] (a,b)$ "beliebig wählbar".
P.S.:
Was hier dann noch fehlt, ist eine Begründung, warum auch [mm] $g_1(a)=g_2(a)+c$ [/mm] und [mm] $g_1(b)=g_2(b)+c$ [/mm] gilt, wenn [mm] $g_1(x)=g_2(x)+c$ [/mm] füralle $x [mm] \in [/mm] (a,b)$ gilt. Hier kannst Du mit (rechts-)seitiger Stetigkeit von [mm] $g_1$ [/mm] bzw. [mm] $g_2$ [/mm] an der Stelle [mm] $a\,$ [/mm] und mit (links-)seitiger Stetigkeit von [mm] $g_1$ [/mm] bzw. [mm] $g_2$ [/mm] an der Stelle [mm] $b\,$ [/mm] argumentieren!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
