Beweis einer diskreten Metrik < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:24 Fr 01.02.2008 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | Zeige, dass die Menge der ganzen Zahlen mit d(n,m)=|n-m| einen metrischen Raum bildet.
Ist in diesem Raum jede Teilmenge sowohl offen als auch abgeschlossen? |
Also die Metrik zu beweisen ist ja einfach:
1)d(m,n)=0 m=n
2)d(m,n)=d(n,m)
3d(m,n)<d(m,o)+d(o,n), Gleichheit möglich.
Nur wie zeige ich jetzt, dass jede Teilmenge sowohl offen als auch abgeschlossen ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüße
Christoph
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Hallo,
wie ist offen definiert, wie ist abgeschlossen definiert?
Was konntest Du bisher diesbezüglich zeigen?
Wo liegt das Problem?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Fr 01.02.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Also als die Offenheit der Menge bedeutet, dass eine e-Umgebung um einen beliebigen Punkt vollständig enthalten ist.
Eine abgeschlossene Menge enthält alle ihre Häufungspunkte (was ja auf jeden Fall zutrifft).
Also ist nur noch zu zeigen, dass die Menge gleichzeitig auch offen ist.
ich habe es schon versucht zu zeigen, indem ich ein [mm] \varepsilon [/mm] kleiner 1, also 1/2 gewählt habe, dann sage:
[mm] d(x,y)<\varepsilon=1/2 [/mm] was ja auf Grund der diskreten Metrik bedeutet x=y. Aber das hilft mir argumentativ nicht weiter...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich habe es schon versucht zu zeigen, indem ich ein
> [mm]\varepsilon[/mm] kleiner 1, also 1/2 gewählt habe, dann sage:
>
> [mm]d(x,y)<\varepsilon=1/2[/mm] was ja auf Grund der diskreten
> Metrik bedeutet x=y. Aber das hilft mir argumentativ nicht
> weiter...
um was geht es denn nun? Oben steht:
$d: [mm] \IZ \times \IZ \to \IR_{\ge 0}$ [/mm] mit $d(n,m):=|n-m|$ ist eine Metrik. Um das einzusehen, braucht man sich eigentlich nur darauf zu berufen, dass
[mm] $d_1: \IR \times \IR \to \IR_{\ge 0}$ [/mm] mit [mm] $d_1(x,y):=|x-y|$ [/mm] eine Metrik ist. Dann erkennt man das sehr schnell.
(Meine Frage deshalb:
Ich weiß nicht, warum Du hier von der "diskreten" Metrik sprichst, denn diese wäre hier für $(x,y) [mm] \in \IZ \times \IZ$ [/mm] gegeben durch:
[mm] $d(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=y \\ 1, & \mbox{für } x \not= y \end{cases}$ [/mm] )
Jetzt ist die Frage, ob bzgl. der Metrik $d: [mm] \IZ \times \IZ \to \IR_{\ge 0}$ [/mm] mit $d(n,m)=|n-m|$ dann gilt, dass eine jede Menge sowohl offen als auch abgeschlossen ist (im metrischen Raum [mm] $(\IZ,d)$):
[/mm]
Sei $O [mm] \subseteq \IZ$. [/mm]
Behauptung:
$O$ ist offen. Sei dazu $o [mm] \in [/mm] O$ (insbesondere ist dann $o [mm] \in \IZ$). [/mm] Dann kannst Du zu diesem $o [mm] \in [/mm] O$ in der Tat [mm] $\varepsilon=\frac{1}{2}$ [/mm] wählen, und hast dann zu zeigen, dass:
[mm] $U_{\varepsilon}(o)=\left\{z \in \IZ: d(z,o) < \frac{1}{2}\right\} \subseteq [/mm] O$
bzw.
[mm] $\left\{z \in \IZ: |z-o| < \frac{1}{2}\right\} \subseteq [/mm] O$
Und wie Du schon richtig erkannt hast, ist die linke Menge einfach [mm] $\{o\}$, [/mm] und wegen $o [mm] \in [/mm] O$ ist natürlich in trivialer Weise [mm] $\{o\} \subseteq [/mm] O$.
Genauso einfach erkennt man die Abgeschlossenheit von $O$:
Sei [mm] $(o_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge in $O [mm] (\subseteq \IZ)$ [/mm] mit [mm] $o_n \to [/mm] o$ bei $n [mm] \to \infty$. [/mm] Zu zeigen ist: $o [mm] \in [/mm] O$.
Nun:
Setze [mm] $\varepsilon=\frac{1}{2} [/mm] > 0$ und aus der Konvergenz von [mm] $(o_n)_{n \in \IN}$ [/mm] gegen $o$ folgt dann (wegen der speziellen Metrik hier; analog zu oben!), dass schon [mm] $o_n=o$ [/mm] ab einem [mm] $N=N_{\varepsilon}$ [/mm] gelten muss. Aber [mm] $o_n \in [/mm] O$ galt für alle $n$, da [mm] $(o_n)_n$ [/mm] ja eine Folge in $O$ war, und damit ist auch $o [mm] \in [/mm] O$.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:12 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Marcel |
> Also als die Offenheit der Menge bedeutet, dass eine
> e-Umgebung um einen beliebigen Punkt vollständig enthalten
> ist.
Übrigens:
Ich hoffe, Du meinst bei Dir nicht, dass das [mm] $\varepsilon$ [/mm] universell gewählt werden kann (in der obigen, speziellen Metrik war das möglich, z.B. mit [mm] $\varepsilon=\frac{1}{2}$; [/mm] i.a. ist das nicht möglich):
Eine Menge $O [mm] \subseteq [/mm] X$ eines metrischen Raumes $(X,d)$ heißt genau dann offen, wenn für jedes $o [mm] \in [/mm] O$ ein [mm] $\varepsilon=\varepsilon(o) [/mm] > 0$ existiert, so dass
[mm] $U_{\varepsilon}(o)=\left\{x \in X: d(x,o) < \varepsilon\right\} \subseteq [/mm] O$
gilt. Das [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist i.a. von dem Punkt $o [mm] \in [/mm] O$ abhängig. Z.B.
$(-1,1)$ ist offen in [mm] $(\IR,d_{|.|})$. [/mm] Ist $o [mm] \in [/mm] (-1,1)$, so wähle zu diesem $o$ dann [mm] $\varepsilon=\min \left\{1-o, o-(-1)\right\}=\min \{1-o, 1+o\} [/mm] (>0)$ und Du erkennst, dass [mm] $U_{\varepsilon}(o) \subseteq [/mm] (-1,1)$. Hieran erkennst Du auch schön, dass das [mm] $\varepsilon$ [/mm] von dem $o [mm] \in [/mm] (-1,1)$ abhängig ist.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:19 Fr 01.02.2008 | | Autor: | chrisi99 |
hi Marcel! Danke für die spitzen Erklärung!
"diskret" war mein Fehler, ich habe gerade nachgeschlagen und das steht an einer ganz anderen Stelle!
vielen Dank!
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