Beweis einer Äquivalenzrelatio < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Mi 07.11.2007 | | Autor: | naddl |
| Aufgabe | Sei X eine nicht-leere Menge. Eine Relation R X [mm] \times [/mm] X heißt Äquivalenzrelation genau dann, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
(i) [mm] (a,a)\in [/mm] R, (ii) (a,b) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] (b,a) [mm] \in [/mm] R , (ii) (a,b) [mm] \in [/mm] R und (b,c) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow (a,c)\in [/mm] R,
wobei a,b,c beliebige Elemente aus X sind.
Sei [mm] \IZ [/mm] die Menge der ganzen Zahlen und eine Relation R [mm] \subset [/mm] X [mm] \times [/mm] X definiert durch:
[mm] \forall [/mm] (i,j) [mm] \in \IZ \subset \IZ, [/mm] (i,j) [mm] \in [/mm] R [mm] \gdw \exists [/mm] k [mm] \in \IZ [/mm] : j-i = 5k
Beweisen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist. |
hallo erst mal ^^
bei der obigen aufgaben hab ich irgendwie nicht mal im ansatz einen plan, das ganze zu beginnen, geschweigedenn weiterzuführen. kann mir da jemand weiterhelfen? die eigenschaften sind mir durchaus klar, ich weiß aber nich wie ich diese beweisen soll :S
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
lg naddl
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kann das sein, dass du dich vertippt hast und es heißen müsste:
> Sei X eine nicht-leere Menge. Eine Relation R X [mm]\times[/mm] X
> heißt Äquivalenzrelation genau dann, wenn folgende
> Eigenschaften erfüllt sind:
> (i) [mm](a,a)\in[/mm] R, (ii) (a,b) [mm]\in[/mm] R [mm]\Rightarrow[/mm] (b,a) [mm]\in[/mm] R ,
> (ii) (a,b) [mm]\in[/mm] R und (b,c) [mm]\in[/mm] R [mm]\Rightarrow (a,c)\in[/mm] R,
> wobei a,b,c beliebige Elemente aus X sind.
> Sei [mm]\IZ[/mm] die Menge der ganzen Zahlen und eine Relation R
> [mm]\times[/mm] [mm] \IZ[/mm] [mm]\times[/mm] [mm] \IZ [/mm] definiert durch:
> [mm]\forall[/mm] (i,j) [mm]\in \IZ \times \IZ,[/mm] (i,j) [mm]\in[/mm] R [mm]\gdw \exists[/mm]
> k [mm]\in \IZ[/mm] : j-i = 5k
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 Mi 07.11.2007 | | Autor: | naddl |
nene es war schon richtig, dass da stand
R [mm] \subset \IZ \times \IZ
[/mm]
das einzige wo ich mich vertippt hab is folgendes:
(ii) (a,b) R und (b,c) R R, muss heißen
(iii) (a,b) R und (b,c) R R
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> Sei X eine nicht-leere Menge. Eine Relation R X [mm]\times[/mm] X
> heißt Äquivalenzrelation genau dann, wenn folgende
> Eigenschaften erfüllt sind:
> (i) [mm](a,a)\in[/mm] R, (ii) (a,b) [mm]\in[/mm] R [mm]\Rightarrow[/mm] (b,a) [mm]\in[/mm] R ,
> (ii) (a,b) [mm]\in[/mm] R und (b,c) [mm]\in[/mm] R [mm]\Rightarrow (a,c)\in[/mm] R,
> wobei a,b,c beliebige Elemente aus X sind.
> Sei [mm]\IZ[/mm] die Menge der ganzen Zahlen und eine Relation R
> [mm]\subset[/mm] X [mm]\times[/mm] X definiert durch:
> [mm]\forall[/mm] (i,j) [mm]\in \IZ x \IZ,[/mm] (i,j) [mm]\in[/mm] R [mm]\gdw \exists[/mm]
> k [mm]\in \IZ[/mm] : j-i = 5k
> Beweisen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.
Hallo,
Du betrachtest Zahlenpaare (a,b) [mm] \in \IZ [/mm] x [mm] \IZ.
[/mm]
Nach Def. ist (a,b) Element der Relation genau dann,wenn die Differenz zwischen zweiter Komponente und erster Komponente ein ganzz. Vielfaches von 5 ist.
Z.B wäre (19, -1) ein Element dieser Relation, (19, [mm] -1)\in \IR, [/mm] denn es ist -1-19=-20=-4*5.
(i) zu zeigen [mm](a,a)\in[/mm] R,
Hier fängst Du so an: sei (a,a) [mm] \in \IZ [/mm] x [mm] \IZ.
[/mm]
Es ist ... ==> (a,a) [mm] \in [/mm] R.
Ich hoffe, daß Dir das einen kleinen Eindruck gibt von dem, was Du tun sollst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Do 08.11.2007 | | Autor: | froggie |
für die Transitivität habe ich folgendes gemacht
1) i-j=5k [mm] \Rightarrow [/mm] i=5k+j
2) j-l=5k [mm] \Rightarrow [/mm] j=5k+l
3) i-l=5k [mm] \Rightarrow [/mm] l=i-5k
Setze l in 2) und dann k in 1) ein:
i=5k+5k+i-5k
0=5k+5k-5k
0=(k+k-k)5
0=k+k-k
0=k
0 [mm] \in \IZ [/mm] q.e. d.
kann man das so beweisen?
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> für die Transitivität habe ich folgendes gemacht
>
> 1) i-j=5k [mm]\Rightarrow[/mm] i=5k+j
>
> 2) j-l=5k [mm]\Rightarrow[/mm] j=5k+l
>
> 3) i-l=5k [mm]\Rightarrow[/mm] l=i-5k
>
> Setze l in 2) und dann k in 1) ein:
>
> i=5k+5k+i-5k
> 0=5k+5k-5k
> 0=(k+k-k)5
> 0=k+k-k
> 0=k
>
> 0 [mm]\in \IZ[/mm] q.e. d.
>
> kann man das so beweisen?
>
NEIN!!! Das ist sehr falsch.
[mm] (a,b)\in\IR [/mm] und [mm] (b,c)\in\IR [/mm] aus
d.h. [mm] \exists k,l\in\IZ [/mm] sodass
a=b+5k , b=c+5l
den rest siehst du jetzt hoffentlich
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hallo,
ich muss die gleiche aufgabe auch lösen. ich habe das problem, dass ich nicht weiß was mein a und was mein b ist. muss ich das jeweils nach j und i auflösen?
danke für deine hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:19 Fr 09.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du suchst ja nur äquivalente Zahlenpaare (a,b) mit a-b=5kInworten: die Differenz der 2 Zahlen ist ein vielfaches von 5. deshalb kannst du auch schreiben
a=5k+b und wenn (b,c) dazugehören gilt c=5l+b
wenn du dann a,c ansiehst gilt a-c=5k+b-(5l+b)=5(k-l)=5m also wieder äquivalent, also transitiv!
es fehllt überall, dass [mm] k,l,m\in\IZ.
[/mm]
Gruss leduart
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