Beweis einer Untergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe 2. Sei G eine Gruppe, H [mm] \subseteq [/mm] G eine endliche Teilmenge mit
(a) e [mm] \in [/mm] H, und
(b) xy [mm] \in [/mm] H für alle x, y [mm] \in [/mm] H.
Zeigen Sie, dass H eine Untergruppe von G ist.
Hinweis: Betrachten Sie für x [mm] \in [/mm] H die vermöge (durch) [mm] r_x(y) [/mm] = yx definierte Abbildung. |
Um zu beweisen das H ein Untergruppe ist, muss ich doch die 4 Grundregeln beweisen:
[mm] G_0 [/mm] : Abgeschlossenheit bzgl. der Verknüpfung (? verstehe nicht wie ich das beweisen soll, bzw was das genau bedeutet!)
[mm] G_1 [/mm] :Assoziativgesetz (wird geerbt')
[mm] G_2 [/mm] : Ex. eines neutralen Element (gegeben durch (a))
[mm] G_3 [/mm] : Ex. der inversen Element: [mm] x^{-1} [/mm] * x = e (naja da G eine gruppe ist, gilt [mm] x^{-1} \in [/mm] G somit auch in H)
Ist das soweit richtig? Und wenn ja, wie soll ich [mm] G_0 [/mm] beweisen bzw. was soll ich mit der Angabe von [mm] r_x [/mm] machen?
Oder ist das eine Trick Aufgabe. Da es sich ja um eine endlich Teilmenge handelt und [mm] r_x [/mm] (y) = yx ist. Die Untergruppe nur aus e besteht?
mfg
Yuu
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Yuu,
dein Beweis ist schon teilweise richtig.  Du hast erkannt, dass die Information "H ist eine endliche Menge" wichtig ist.
Leider kannst du aus den angegebenen Informationen nicht direkt folgern, dass für jedes [mm] $x\in [/mm] H$ auch das Inverse [mm] $x^{-1}\in [/mm] H$.
(Abgeschlossenheit einer Menge $M$ bezüglich einer Verknüpfung [mm] $\circ$ [/mm] bedeutet nur, dass für alle [mm] $m_1,m_2\in [/mm] M$ auch das Objekt [mm] $(m_1\circ m_2)\in [/mm] M$. Zum Beispiel sind die ganzen Zahlen [mm] $\IZ$ [/mm] abgeschlossen bezüglich Addition, Subtraktion und Multiplikation, aber nicht bezüglich Division.)
Aber du kannst dir überlegen, was passiert, wenn man für ein festes $x$ die Abbildung [mm] $r_x(y)$ [/mm] immer wieder auf die Elemente [mm] $y\in [/mm] H$ anwendet, d.h. wenn man die Folge $y$, [mm] $r_x(y)$, $r_x(r_x(y))$, $r_x(r_x(r_x(y)))$, $\dots$ [/mm] untersucht. Hier spielt die Endlichkeit von $H$ eine Rolle um zu zeigen, dass das Inverse eines jeden $x$ nicht nur irgendwo in $G$, sondern sogar in $H$ liegt.
Ich hoffe, ich konnte hilfreiche Hinweise geben
Hugo
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