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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Beweis einer Ungleichung für n
Beweis einer Ungleichung für n < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis einer Ungleichung für n: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:02 Do 02.10.2008
Autor: SirSmoke

Aufgabe
Man beweise für beliebige natürliche Zahlen n die Ungleichung ( 1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{n} )^{2} [/mm] < 2n

Hallo zusammen!
Ich habe hier diese Aufgabe vorliegen, und habe leider keine Ahnung wie ich an die Aufgabe rangehen soll, geschweige wie ich sie lösen kann/soll.
Wäre sehr dankbar um Tipps oder Lösungswege!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

MFG

        
Bezug
Beweis einer Ungleichung für n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:23 Do 02.10.2008
Autor: M.Rex

Hallo

Das schreit geradezu nach einem Induktionsbeweis.

Also:

Ind.Anfang:
n=1
(Teste das dann selber)

Ind-Behauptung:
Für n gilt:
[mm] \left(1+\bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n}\right)^{2}<2n [/mm]

Ind Schritt:
[mm] \left(1+\bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{\red{n+1}}\right)^{2}<2*\red{(n+1)} [/mm]

Dazu mal folgender Tipp
[mm] \left(1+\bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n+1}\right)^{2} [/mm]
[mm] =\left(\green{1+\bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n}}+\bruch{1}{n+1}\right)^{2} [/mm]

Und jetzt wende mal die binomische Formel (a+b)²=... an. Als a nimmst du den grünen Teil, als b den "Rest", dann kannst du die Induktionsbehauptung anwenden.

Marius

Bezug
                
Bezug
Beweis einer Ungleichung für n: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:48 Do 02.10.2008
Autor: SirSmoke

Genau, bis einschließlich zum Ind.Schritt bin ich auch gekommen, aber weiter weiß ich dann eben nicht. Leider ist mir das nicht ganz so klar, was du hier mit der Anwendung der binomischen Formel anstellst.

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Bezug
Beweis einer Ungleichung für n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:03 Do 02.10.2008
Autor: schachuzipus

Hallo SirSmoke,

bin. Formel angewandt ergibt:

[mm] $...=\red{\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}\right)^2}+2\cdot{}\blue{\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}\right)}\cdot{}\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2} \qquad (\star)$ [/mm]

Nun ist nach IV [mm] $\red{\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}\right)^2 \ < \ 2n}$ [/mm]

Da alles positiv ist, auch [mm] $\blue{\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k} \ < \ \sqrt{2n}}$ [/mm]

Also [mm] $(\star) [/mm] \ < \ [mm] \red{2n}+2\cdot{}\blue{\sqrt{2n}}\cdot{}\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}$ [/mm]

[mm] $=2n+\sqrt{\frac{8n}{(n+1)^2}}+\frac{1}{(n+1)^2}$ [/mm]

Nun schaue dir mal die beiden Brüche an, den unter der Wurzel und den hinteren.

Die kannst du nun locker abschätzen mit Hinblick auf dein Ziel $... \ < \ 2(n+1)=2n+2$

LG

schachuzipus


PS: ich merke gerade erst, dass die Abschätzung für die Wurzel erst ab $n=6$ klappt ...

Aber vllt. hilft dir diese Idee schon mal weiter ...

Zur Not kannst du ja die Gültigkeit für $n=2,3,4,5$ auch per stumpfes Ausrechnen prüfen ;-)



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Bezug
Beweis einer Ungleichung für n: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:34 Do 02.10.2008
Autor: SirSmoke

also ich konnte deinen Schritten folgen, nur allerdings habe ich nun das Problem, dass ich im letzten Schritt nicht das sehe, was du siehst :D

Wenn ich n=6 setze, dann haben wir doch  2n +  [mm] \wurzel{\bruch{8*6}{(6+1)^2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(6+1)^2} [/mm] = 2n + [mm] \wurzel{\bruch{48}{49}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{49} [/mm]

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Beweis einer Ungleichung für n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:34 Do 02.10.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> also ich konnte deinen Schritten folgen, nur allerdings
> habe ich nun das Problem, dass ich im letzten Schritt nicht
> das sehe, was du siehst :D
>  
> Wenn ich n=6 setze, dann haben wir doch  2n +  
> [mm]\wurzel{\bruch{8*6}{(6+1)^2}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(6+1)^2}[/mm] = 2n +  [mm]\wurzel{\bruch{48}{49}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{49}[/mm]  

Jo, die beiden hinteren Terme sind somit jeweils <1, also gilt für [mm] n\ge [/mm] 6:

[mm] $2n+\sqrt{\frac{8n}{(n+1)^2}}+\frac{1}{(n+1)^2}<2n+1+1=2n+2=2(n+1)$ [/mm]

Das meinte ich damit ;-)

LG

schachuzipus


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Beweis einer Ungleichung für n: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 Do 02.10.2008
Autor: SirSmoke

und damit ist dann die Behauptung der Aufgabe bewiesen??

Beh: ( 1 + $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $ + ... + $ [mm] \bruch{1}{n} )^{2} [/mm] $ < 2n

Bezug
                                                        
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Beweis einer Ungleichung für n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:30 Do 02.10.2008
Autor: Denny22

Hallo,

> und damit ist dann die Behauptung der Aufgabe bewiesen??
>  
> Beh: ( 1 + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + ... + [mm]\bruch{1}{n} )^{2}[/mm] < 2n  

Ja ist sie. Allerdings solltest du begründen können, warum der hintere Teil für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] kleiner 2 ist, also warum

[mm] $\sqrt{\frac{8n}{(n+1)^2}}+\frac{1}{(n+1)^2}<2\quad\forall\,n\in\IN$ [/mm]

gilt. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten:

1. Möglichkeit: Du zeigst die Ungleichung, indem Du sie weiter abschätzt, was aufwendig werden könnte. (Ich habs nicht probiert)
2. Möglichkeit: Du betrachtest die linke Seite als Funktion, d.h. du betrachtest die Funktion

[mm] $f:\IR_+\longrightarrow\IR_+$ [/mm] mit [mm] $f(x):=\sqrt{\frac{8x}{(x+1)^2}}+\frac{1}{(x+1)^2}$ [/mm]

und zeichnest eine Skizze, der man entnehmen kann, dass die Funktion immer kleiner 2 ist. Dafür habe ich Dir mal ein Bild in den Anhang gepackt. Dann bist Du fertig.

Gruß


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                                
Bezug
Beweis einer Ungleichung für n: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:35 Do 02.10.2008
Autor: SirSmoke

Vielen Dank für deine Mühen!

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Beweis einer Ungleichung für n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:00 Do 02.10.2008
Autor: fred97

Ich hätte einen Beweis, weiß natürlich nicht ob Dir die Zutaten bekannt sind.

Wir benötigen

(1)  Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für nichtnegative Zahlen [mm] a_k, b_k [/mm] (k = 1, ...,n):

[mm] (\summe_{k=1}^{n}a_kb_k)^2 \le \summe_{k=1}^{n}a_k^2\summe_{k=1}^{n}b_k^2 [/mm]

(2) [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2} \le \bruch{\pi^2}{6} [/mm] < 2


Wähle nun [mm] a_k [/mm] = 1/k und [mm] b_k [/mm] = 1. Dann folgt aus (1) und (2):

( 1 + $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $ + ... + $ [mm] \bruch{1}{n} )^{2} [/mm] $ [mm] \le (\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2})(\summe_{k=1}^{n}1) [/mm] =
[mm] (\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2})n [/mm] < 2n


FRED




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Bezug
Beweis einer Ungleichung für n: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:47 Do 02.10.2008
Autor: SirSmoke

Die Zutaten sollten mir bekannt sein, aber ich bin ein schlechter Koch :D

Wie kommst du auf deinen Schritt (2) und wie komme ich dann auf meinen Beweis als Lösung?

LG und vielen Dank :)

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Bezug
Beweis einer Ungleichung für n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:52 Do 02.10.2008
Autor: fred97


> Die Zutaten sollten mir bekannt sein, aber ich bin ein
> schlechter Koch :D
>  
> Wie kommst du auf deinen Schritt (2)

Es ist
   [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2} \le \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^2} [/mm]  =  [mm] \bruch{\pi^2}{6} [/mm]  < 2

> und wie komme ich dann
> auf meinen Beweis als Lösung?

Diese Frage verstehe ich nicht !
Die Punkte (1) und (2) sind die Zutaten, das benutzen wir für den Beweis.

FRED


>  
> LG und vielen Dank :)


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