Beweis einer Ungleichung durch < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Di 27.10.2009 | | Autor: | stk66 |
| Aufgabe | Zeige die folgende Ungleichung für alle reellen Zahlen x [mm] \ge [/mm] 0 und alle natürlichen Zahlen n [mm] \ge [/mm] 2.
[mm] (1+x)^{n} [/mm] > [mm] \bruch{n^2}{4} [/mm] * [mm] x^2 [/mm] |
Habe versucht die Ungleichung durch vollständige Induktion zu beweisen.
Der Induktionsanfang für n=2 ist mir klar. Beim Induktionsschritt allerdings bekomme ich Probleme. Ich stecke an folgender Stelle fest:
[mm] (1+x)^{n+1} [/mm] = [mm] (1+x)^n [/mm] * (1+x) [mm] \underbrace{>}_{IV} \bruch{n^2}{4} [/mm] * [mm] x^2 [/mm] * (1+x)
Ich müsste ja jetzt versuchen die rechte Seite der Ungleichung irgendwie nach [mm] \bruch{(n+1)^2}{4} [/mm] * [mm] x^2 [/mm] umzuformen, komme da aber irgendwie nicht hin. Ich vermute fast, das ich da mit irgendwelchen Abschätzungen argumentieren muss.
Ausserdem fällt mir bei der kompletten rechten Seite der Aufgabenstellung auf, dass ein Wurzelziehen recht einfach wäre, vielleicht kann man ja in der Richtung etwas umformen...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Di 27.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo stk66,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Siehe mal hier, da wurde gerade dieselbe Aufgabe behandelt.
Gruß
Loddar
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