Beweis einer Ungleichung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:09 Di 07.08.2007 | | Autor: | Pilz007 |
| Aufgabe | | Zu zeigen ist: [mm] $\sum_{i \in I}^{ } ||x_i|| \le [/mm] 2n* [mm] \sup_{J \subset I} ||\sum_{i \in J}^{ } x_i||$, [/mm] wobei die Supremumsnorm verwendet wird und [mm] (x_i)_{i\inI} [/mm] eine endliche Familie von Punkten des Raumes [mm] \IR^n [/mm] |
Eigentlich gilt ja [mm] ||\sum_{}^{ }x_i||\le\sum_{}^{ }||x_i|| [/mm] . Soweit bin ich schon. Also wenn man jetzt denn Fall n=1 betrachtet ergibt sich ja:
[mm] \sum_{i \in I}^{ }||x_i||\le2*\sup_{J \subset I}||\sum_{i \in J}^{ }x_i|| [/mm] wenn ich das richtig verstanden habe soll das dann:
[mm] ||x_1+x_2+...+x_k||\le2*||x_5+x_6|| [/mm] sein, wobei [mm] x_5, x_6 [/mm] aus dem [mm] \sup_{J\in I} [/mm] stimmt das? Und dann müßte mann nur mehr durch Induktion auf ganz [mm] \IR^n [/mm] schließen ?
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Schnien |
Also ich denke, dass man im Fall n=1 folgendes zeigen muss:
[mm] |x_{1}|+...+|x_{k}| \le [/mm] 2 * [mm] |x_{k_{1}} +...+x_{k_{n}}|
[/mm]
wobei [mm] k_{i} \in [/mm] J [mm] \subset [/mm] I.
Wenn man die linke Seite nach positiven und negativen [mm] x_{i} [/mm] ordnet und die Beträge auflöst, erhält man: [mm] x_{1}+...+x_{j} [/mm] + [mm] (-x_{j+1}-...-x_{k}), [/mm] wobei die [mm] x_{1}...x_{j} \ge [/mm] 0 und die [mm] x_{j+1}...x_{k} \le [/mm] 0 sind. Für die rechte Seite wählt man nun entweder alle positiven oder alle negativen, je nachdem welche Summe vom Betrag her die größere ist.
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