Beweis einer Ungleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 Do 15.01.2004 | | Autor: | Nelly |
Hallo,
um eine Aufgabe zu lösen, müssten wir folgende Ungleichung beweisen:
Für alle [mm] \alpha \in \IQ [/mm] , [mm] \alpha [/mm] > 0 und [mm] a\in \IR [/mm] , a > -1 gilt:
[mm] (1+a)^\alpha [/mm] >= 1+ [mm] \alpha [/mm] * a
(Wir brauchen es für [mm] \alpha [/mm] =1/3)
Angeblich soll es ganz einfach sein, wir kommen nur nicht drauf.
Wäre nett, wenn uns jemand helfen könnte.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Do 15.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Nelly,
da du die Ungleichung ja nur in der Form
[mm](1+a)^{\frac{1}{n}} \ge 1 + \frac{1}{n}a[/mm]
für alle [mm]n \in \IN[/mm] und [mm]a \in \IR[/mm] mit [mm]a>-1[/mm] benötigst (bei dir ist dann [mm]n=3[/mm]) würde es ja auch genügen, die Behauptung dafür zu zeigen.
Aber ich behaupte, dass genau die andere Ungleichungsrichtung wahr ist, also
[mm](1+a)^{\frac{1}{n}} \le 1 + \frac{1}{n}a[/mm] ! (Tut mir leid!)
Wie zeigen wir das? Mit vollständiger Induktion!
Behauptung
[mm](1+a)^{\frac{1}{n}} \le 1 + \frac{1}{n}a[/mm]
für alle [mm]n \in \IN[/mm] und alle [mm]a \in \IR[/mm] mit [mm]a>-1[/mm].
Beweis
Es sei [mm]a \in \IR[/mm] mit [mm]a>-1[/mm] fest, aber beliebig gewählt. Wir zeigen die Behauptung durch vollständige Induktion nach [mm]n\in \IN[/mm].
Induktionsanfang [mm](n=1)[/mm]
Für [mm]n=1[/mm] ist die Behauptung wegen
[mm](1+a)^{\frac{1}{1}} = 1+a = 1+1\cdot a[/mm]
trivial.
Induktionsanfang [mm](n \to n+1)[/mm]
Nach Induktionsvoraussetzung gilt:
[mm](1+ a)^{\frac{1}{n}} \le 1+ \frac{1}{n}a[/mm],
also:
[mm](1+\frac{1}{n}a)^n \ge 1+a[/mm].
Zu zeigen ist:
[mm](1+ a)^{\frac{1}{n+1}} \le 1+ \frac{1}{n+1}a[/mm],
also:
[mm](1+\frac{1}{n+1}a)^{n+1} \ge 1+a[/mm].
Es gilt aber:
[mm](1+\frac{1}{n+1}a)^{n+1} = (1+\frac{1}{n}\underbrace{(\frac{n}{n+1}a)}_{= \tilde{a}})^n \cdot (1+\frac{1}{n+1}a) \stackrel{(IV \ \mbox{\scriptsize für} \ \tilde{a}=\frac{n}{n+1}a)}{\ge} (1+\underbrace{\frac{n}{n+1}a}_{= \tilde{a}}) \cdot (1+ \frac{1}{n+1}a) = 1 + a + \underbrace{\frac{n}{(n+1)^2}a^2}_{\ge 0} \ge 1+a[/mm].
Oder seht ihr einen Fehler in meinem Beweis? 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:06 Do 15.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Nelly+Stefan,
wollte auch mal was schlaues anmerken (nachdem ich an dem Beweis der umgekehrten Ungleichung kläglich gescheitert bin):
Wenn man die Bernoullische Ungleichung [mm] (1+x)^n \geq 1+nx [/mm] kennt und benutzen darf, ist Stefans Ungleichung auch ganz einfach zu zeigen:
Beh.:
[mm] (1+a)^\frac{1}{n} \leq 1+\frac{1}{n}*a [/mm]
Bew.:
[mm] 1+n*x \leq (1+x)^n [/mm] mit [mm] x:= \frac{1}{n}*a [/mm]
[mm] \gdw 1+n*\frac{1}{n}*a \leq (1+\frac{1}{n}*a)^n [/mm]
[mm] \gdw 1+a \leq (1+\frac{1}{n}*a)^n [/mm]
[mm] \gdw (1+a)^\frac{1}{n} \leq 1+\frac{1}{n}*a [/mm]
Viele Grüße,
Marc.
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