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| Aufgabe | | Sei G eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung, für die es ein neutrales Element e gibt (ae=ea=a für alle a [mm] \in [/mm] G). Ferner besitze jedes a [mm] \in [/mm] G ein rechtsinverses Element, also ein Element a' [mm] \in [/mm] G mit aa'=e. Zeigen Sie, dass G eine Gruppe ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
Ich habe mal eine Frage zu der Aufgabe: WIE GEHT DAS??
Was ist denn mit rechtsinvers gemeint?
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Moin,
> Sei G eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung, für
> die es ein neutrales Element e gibt (ae=ea=a für alle a
> [mm]\in[/mm] G). Ferner besitze jedes a [mm]\in[/mm] G ein rechtsinverses
> Element, also ein Element a' [mm]\in[/mm] G mit aa'=e. Zeigen Sie,
> dass G eine Gruppe ist.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Hallo,
>
> Ich habe mal eine Frage zu der Aufgabe: WIE GEHT DAS??
> Was ist denn mit rechtsinvers gemeint?
Das steht doch da: Zu jedem [mm] a\in [/mm] G gibt es ein rechtsinverses Element a', für das also gilt [mm] $a\circ [/mm] a'=e$.
Um zu zeigen, dass es sich um eine Gruppe handelt, musst du noch zeigen, dass das rechtinverse jeweils auch linksinverses (d.h. [mm] $a'\circ [/mm] a=e$) ist.
Du könntest zum Beispiel so anfangen:
[mm] a'\circ a=a'\circ a\circ e=a'\circ a\circ \left[a'\circ (a')'\right]=\ldots
[/mm]
LG
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> $ [mm] a'\circ a=a'\circ a\circ e=a'\circ a\circ \left[a'\circ (a')'\right]=\ldots [/mm] $
Wie genau bist du darauf jetzt gekommen?
Ist das [mm] [a'\circ(a')'] [/mm] jetzt e?
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> > [mm]a'\circ a=a'\circ a\circ e=a'\circ a\circ \left[a'\circ (a')'\right]=\ldots[/mm]
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> Wie genau bist du darauf jetzt gekommen?
> Ist das [mm][a'\circ(a')'][/mm] jetzt e?
So ist es:
(a')' ist das rechtsinverse Element zu a' (welches nach Voraussetzung existiert).
LG
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> > > [mm]a'\circ a=a'\circ a\circ e=a'\circ a\circ \left[a'\circ (a')'\right]=\ldots[/mm]
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> >
> > Wie genau bist du darauf jetzt gekommen?
> > Ist das [mm][a'\circ(a')'][/mm] jetzt e?
> So ist es:
> (a')' ist das rechtsinverse Element zu a' (welches nach
> Voraussetzung existiert).
>
> LG
Und wie muss ich jetzt weitermachen?
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> Und wie muss ich jetzt weitermachen?
Probier doch mal selbst einen Blick drauf zu werfen:
$ [mm] a'\circ a=a'\circ a\circ e=a'\circ a\circ \left[a'\circ (a')'\right]=\ldots [/mm] $
Du darfst Klammern umsetzen und jederzeit die Eigenschaften der rechtsinversen Elemente verwenden.
LG
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Also, wenn man die Klammern umsetzen kann, dann kann man ja so klammern, dass da steht: [mm] a'\circ (a'\circ a)\circ a'\circ [/mm] a''
Und [mm] a\circ [/mm] a'=e
Also: [mm] a'\circ [/mm] e [mm] \circ a'\circ [/mm] a''
???
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> Also, wenn man die Klammern umsetzen kann, dann kann man ja
> so klammern, dass da steht: [mm]a'\circ (a'\circ a)\circ a'\circ[/mm]
> a''
Du rechnest auf einmal mit einem ganz anderen Ausdruck. Schau nochmal genau hin.
[mm] a'\circ a\circ \left[a'\circ (a')'\right]=a'\circ [a\circ a']\circ (a')'=\ldots=e
[/mm]
Nun sind die Schritte für [mm] \ldots [/mm] dir.
Tipp: Rechtinverses Element.
LG
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