Beweis einer Formelfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Mi 29.04.2009 | | Autor: | Piatty |
| Aufgabe | | [mm] a_{n} \mapsto [/mm] a [mm] \in \IR [/mm] , folgt [mm] \bruch{ a_{a} + ... + a_{n}}{ n } \mapsto [/mm] a |
Hallo
Ich weiß nicht wie ich dies beweisen soll. Herzliches Dank schonmal an euch!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:45 Do 30.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]a_{n} \mapsto[/mm] a [mm]\in \IR[/mm] , folgt [mm]\bruch{ a_{a} + ... + a_{n}}{ n } \mapsto[/mm]
> a
> Hallo
> Ich weiß nicht wie ich dies beweisen soll. Herzliches Dank
> schonmal an euch!
Etwas Intuition:
Waehle (geschickt) ein $N$. Du brauchst ja nur die Folgenglieder ab einem gross genugen $N$ anzuschauen, also tun wir das mal.
Fuer $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt [mm] $\frac{a_1 + \dots + a_n}{n} [/mm] - a = [mm] \frac{a_1 + \dots + a_N - N a}{n} [/mm] + [mm] \frac{a_{N+1} + \dots + a_n - (n - N) a}{n}$.
[/mm]
Jetzt haengt der Zaehler von [mm] $\frac{a_1 + \dots + a_N - N a}{n}$ [/mm] nicht von $n$ ab, insgesamt geht dieser Bruch also gegen 0, wenn $n$ gegen unendlich geht.
Der hintere Term ist jedoch [mm] $\frac{(a_{N+1} - a) + \dots + (a_n - a)}{n}$; [/mm] du musst zeigen, dass dies fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] ebenfalls gegen 0 geht. Kannst du das geschickt nach oben abschaetzen?
Und jetzt kommt $N$ ins spiel. Nimm dir ein [mm] $\varepsilon$. [/mm] Du musst jetzt ein [mm] $N_0$ [/mm] finden mit [mm] $|\frac{a_1 + \dots + a_n}{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon$ [/mm] fuer alle $n [mm] \ge N_0$. [/mm] Versuch das oben genannte zu benutzen.
LG Felix
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