Beweis einer Equivalenz von = < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:54 Mo 19.11.2018 | | Autor: | asg |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass die Gleichung $s [mm] \cdot [/mm] a + t [mm] \cdot [/mm] b = c$ genau dann eine Lösung $s,t [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] hat, wenn $c$ ein Vielfaches von $ggT(a,b)$ ist. |
Hallo zusammen,
bei dem Beweis bin ich mir nicht ganz sicher. Ich habe die Äquivalenz wie folgt gezeigt:
z.z. $s [mm] \cdot [/mm] a + t [mm] \cdot [/mm] b = c [mm] \Leftrightarrow [/mm] ggT(a,b) [mm] \cdot [/mm] p = c$
Beweis [mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Annahme: $s [mm] \cdot [/mm] a + t [mm] \cdot [/mm] b = c$
Behauptung: Dann gilt $ggT(a,b) [mm] \cdot [/mm] p = c$
Beweis: $ggT(a,b) [mm] \cdot [/mm] p = s [mm] \cdot [/mm] a + t [mm] \cdot [/mm] b$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] p = s [mm] \cdot \frac{a}{ggt(a, b)} [/mm] + t [mm] \cdot \frac{b}{ggt(a, b)} [/mm] = s [mm] \cdot [/mm] q + t [mm] \cdot [/mm] r$ mit $q = [mm] \frac{a}{ggt(a, b)} \in \mathbb{Z}$ [/mm] und $r = [mm] \frac{b}{ggt(a, b)} \in \mathbb{Z}$
[/mm]
Somit gibt es ein $p [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] für die Gleichung und die Implikation ist damit gezeigt.
Für die Rückrichtung mache ich es eigentlich gleich:
Annahme: $ggT(a,b) [mm] \cdot [/mm] p = c$
Behauptung: Dann gilt $s [mm] \cdot [/mm] a + t [mm] \cdot [/mm] b = c$
Beweis: $s [mm] \cdot [/mm] a + t [mm] \cdot [/mm] b = ggT(a,b) [mm] \cdot [/mm] p$
Hier sind die Schritte gleich wie oben …
Ich könnte auch den Satz von Bézout für Hin- und Rück-Richtung benutzen, der sagt: $s [mm] \cdot [/mm] a + t [mm] \cdot [/mm] b = ggT(a,b) $
Dann kommt in beiden Fällen $p=1$ raus.
Der ganze Beweis kommt mir komisch vor. Vor allem weil Hin- und Rück-Richtung identisch sind.
Kann mir bitte jemand helfen?
Danke vorab
Viele Grüße
Asg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:08 Mo 19.11.2018 | | Autor: | fred97 |
Zunächst haben wir mit dem Lemma von Bézout:
es ex. u,v [mm] \in \IZ [/mm] mit :
(*) [mm] \ggT(a,b)=ua+vb.
[/mm]
1. Die Gleichung sa+tb=c habe eine Lösung s,t [mm] \in \IZ. [/mm] Dann ist
[mm] \frac{c}{\ggT(a,b)}=\frac{s}{\ggT(a,b)}a+\frac{t}{\ggT(a,b)}b.
[/mm]
Wir setzen [mm] p:=\frac{s}{\ggT(a,b)}a+\frac{t}{\ggT(a,b)}b. [/mm] Dann ist p [mm] \in \IZ [/mm] und c=p [mm] \ggT(a,b).
[/mm]
2. Mit einem p [mm] \in \IZ [/mm] sei c=p [mm] \ggT(a,b). [/mm] Aus (*) folgt:
c=(pu)a+(pv)b.
Damit hat die Gleichung sa+tb=c die Lösung s=pu, t=pv.
P.S: Du hättest erwähnen sollen, dass Du die Frage auch hier
https://math.stackexchange.com/questions/3004624/how-to-prove-an-equivalence-of-two-equations
gestellt hast.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 Mo 19.11.2018 | | Autor: | asg |
Hallo,
Dankeschön für die Hilfe. Nun verstehe ich es.
Viele Grüße
Asg
PS: Tut mir leid für Doppelposting. Diese Frage hatte ich hier gestern Nacht geschrieben. Als die Zeit knapp wurde, habe ich sie erst um 7:40 in stackexchange gestellt.
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