Beweis einer Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Di 17.05.2005 | | Autor: | TobiasBe |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
Ich bin heute mit einer Aufgabe konfrontiert worden, die mir Probleme bereitet:
Sei [mm]dim(V)=n, f \in End(V)[/mm] mit [mm]f^{n}=0[/mm] und [mm]f^{n-1}\not=0[/mm]. Zeigen Sie:
Es gibt einen Vektor [mm]x \in V[/mm], so dass
[mm]B:=(f^{n-1}(x), f^{n-2}(x), ..., f(x), x)[/mm]
eine (geordnete) Basis von V ist.
Ich vermute nun mal, dass mein Beweis so aussehen soll, dass man die Linearunabhängigkeit der einzelnen Vektoren von B zeigt. Ich tue mich aber sehr schwer damit zu verstehen, wie ich das machen soll, ohne diese Vektoren zu kennen.
Ich hatte überlegt einen Vektor x zu bestimmen und mir eine Funktion f zu suchen, auf die die Aussage zutrifft, aber dann hätte ich ja nur einen Speziallfall - die Aufgabe klingt aber so, als ob sie einen allgemeinen Beweis fordert.
Wie geht man an so etwas heran?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Di 17.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Tobias!
Es sei $x [mm] \in [/mm] V$ mit [mm] $f^{n-1}(x) \ne [/mm] 0$.
Dann kann es kein Polynom $q$ höchstens $(n-1)$-ten Grades geben mit $q(x)=0$, denn [mm] $p(x)=x^n$ [/mm] ist das Minimalpolynom von $x$ bezüglich $f$, und dies ist ein Polynom $n$-ten Grades. Das Minimalpolynom eines Vektors $x$ bezüglich eines Endomorphismus ist das Polynom $p$ kleinsten Grades mit $[p(f)](x) =0$.
Ist die jetzt vielleicht schon klar, wie man nun die Behauptung der linearen Unabhängigkeit von [mm] $\{f^{n-1}(x),\ldots,f(x),x\}$ [/mm] zeigen kann?
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Di 17.05.2005 | | Autor: | TobiasBe |
Autsch, das man da Polynome betrachtet, damit hatte ich nicht gerechnet...
Leider habe ich keine Ahnung wie man diese behandelt, oder auf diese kommt.
Ich vermute der Satz "Das Minimalpolynom eines Vektors..." ist die Kernaussage, durch die man dann das Polynom q welches du erwähnst bekommt?
Ich habe leider keine Ahnung wie man mit diesen nun weiter verfährt, könntest du das vielleicht weiter erläutern?
Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Mi 18.05.2005 | | Autor: | TobiasBe |
Ich habe heute weiter über das Problem nachgedacht, und kam schliesslich auf die Idee ein Polynom dieser Form zu benutzen:
[mm] \summe_{i=1}^{n-1} a_{i} f^{i}(x)[/mm]
Das soll die Linearkombination aller Basisvektoren sein, und dann habe ich die gleich Null gesetzt, das runtergerechnet auf
[mm] \summe_{i=n-1}^{n-1} a_{i-n+1} f^{i}(x)[/mm]
Und daraus geschlossen das [mm] a_{o}=0 [/mm] ist. Danach rekursiv für alle anderen a.
Ist das so korrekt, bzw die Art und Weise auf die du hinaus wolltest?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Do 19.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also:
Wäre [mm] $\{x,f(x),f^2(x),\ldots,f^{n-1}(x)\}$ [/mm] linear abhängig, dann gäbe es reelle Zahlen [mm] $a_0,\ldots,a_{n-1}$ [/mm] mit
[mm] $a_{n-1}f^{n-1}(x) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + a_1f(x) + a_0x=0$.
Dann wäre aber:
$r(x):= [mm] \sum\limits_{i=0}^{n-1} a_ix^i$
[/mm]
ein Polynom $(n-1)$-ten Grades mit
$[r(f)](x)=0$.
Ein solches kann es aber nicht geben, da [mm] $p(x)=x^n$ [/mm] das Minimalpolynom von $x$ bezüglich $f$ ist.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Do 19.05.2005 | | Autor: | TobiasBe |
Dann lag ich ja sogar richtig mit meiner obigen Idee, klasse!
Danke für die Hilfe, jetzt weiss ich wie ich bei ähnlichen Themen ansetzen kann.
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