Beweis einer Abbildung < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich sitze gerade an meinem Übungsblatt für die Uni als frisch gebackener Student.
Nun habe ich alle Aufgaben bereits gelöst, bin mir jedoch bei den Aufgaben zu den Abbildungen höchst unsicher, da wir in den Vorlesungen kein Beispiel für einen Beweis gesehen haben.
1. f ( A [mm] \cup [/mm] B ) = f(A) [mm] \cup [/mm] f(B)
Meine Lösung:
y [mm] \in [/mm] f( A [mm] \cup [/mm] B ) [mm] \gdw \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X : y = f ( A [mm] \cup [/mm] B )
=> [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X : y = f ( A [mm] \vee [/mm] B )
=> [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X : y = f (A) [mm] \cup [/mm] f (B)
2. [mm] f^{-1} [/mm] (C [mm] \cap [/mm] D) = [mm] f^{-1} [/mm] (C) [mm] \cap f^{-1} [/mm] (D)
Meine Lösung:
[mm] f^{-1} [/mm] (C [mm] \cap [/mm] D) = [mm] f^{-1} [/mm] (C) [mm] \cap f^{-1} [/mm] (D)
=> f(x) [mm] \in [/mm] (C [mm] \cap [/mm] D) beliebig.
=> f(x) [mm] \in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] D
=> [mm] f^{-1} [/mm] (C) [mm] \cap f^{-1} [/mm] (D)
Ich schätze meine Lösungen sind falsch und bitte um einen Hinweis wie man Beweise von Abbildungen genau löst.
Danke schonmal.
|
|
| |
|
Hallo Andreas,
> Ich sitze gerade an meinem Übungsblatt für die Uni als
> frisch gebackener Student.
>
> Nun habe ich alle Aufgaben bereits gelöst, bin mir jedoch
> bei den Aufgaben zu den Abbildungen höchst unsicher, da
> wir in den Vorlesungen kein Beispiel für einen Beweis
> gesehen haben.
>
> 1. f ( A [mm]\cup[/mm] B ) = f(A) [mm]\cup[/mm] f(B)
Zuallererst solltest du mal die angegebenen Mengen und Funktionen richtig definieren bzw. den Aufgabentext korrekt und vollst. abschreiben.
Es ist [mm]f[/mm] sicher eine Abb. von einer Menge [mm]X[/mm] in eine Menge [mm]Y[/mm] und [mm]A,B\subset X[/mm], oder?
Also [mm]f:X\to Y, A,B\subset X[/mm]
Dann mal zur Struktur.
Hier ist eine Mengengleichheit zuzeigen.
Da bietet es sich gerade zu Beginn des Studiums an, beide Teilmengenbeziehungen [mm]\subset[/mm] und [mm]\supset[/mm] getrennt zu beweisen.
Anderenfalls musst du wie du im weiteren angesetzt hast, lauter Äquivalenzumformungen machen und diese konsequent durchziehen.
(hast du leider nicht gemacht)
Dabei ist es oftmals etwas knifflig, beide Folgerungsrichtungen zu begründen ...
>
> Meine Lösung:
>
> y [mm]\in[/mm] f( A [mm]\cup[/mm] B ) [mm]\gdw \exists[/mm] x [mm]\in[/mm] X : y = f ( A [mm]\cup[/mm] B )
Ok, du kannst mit der linken Seite ansetzen und zeigen, dass ein bel. [mm]y\in f(A\cup B)[/mm] auch in [mm]f(A)\cup f(B)[/mm] liegt (und umgekehrt; oder halt "genau dann, wenn" in einem Schritt)
Allerdings steht rechterhand Unsinn.
[mm]y[/mm] linkerhand ist ein ELEMENT aus [mm]f(A\cup B)[/mm], rechts steht [mm]y=\text{eine Menge}[/mm]
Richtig wäre [mm]y\in f(A\cup B)\gdw \exists x\in (A\cup B): f(x)=y[/mm]
Damit weiter die Def. von [mm]A\cup B[/mm] nutzen:
[mm]\gdw x\in A \ \vee \ x\in B: f(x)=y[/mm]
[mm]\gdw ...[/mm]
[mm]\gdw y\in f(A) \ \vee \ y\in f(B)[/mm]
[mm]\gdw y\in f(A)\cup f(B)[/mm]
Kannst du die Lücke mit ein paar Schritten (Äquivalenzumformungen) auffüllen ??
>
> => [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] X : y = f ( A [mm]\vee[/mm] B )
> => [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] X : y = f (A) [mm]\cup[/mm] f (B)
Nee, das ist ziemlich falsch, vor allem, weil du zwischen Mengen- und Elementebene ziemlich willkürlich hin- und her springst (siehe Bem. oben)
>
> 2. [mm]f^{-1}[/mm] (C [mm]\cap[/mm] D) = [mm]f^{-1}[/mm] (C) [mm]\cap f^{-1}[/mm] (D)
>
> Meine Lösung:
>
> [mm]f^{-1}[/mm] (C [mm]\cap[/mm] D) = [mm]f^{-1}[/mm] (C) [mm]\cap f^{-1}[/mm] (D)
Was sind [mm]C,D[/mm]?
Du kannst nicht von dem, was zu zeigen ist, ausgehen und irgendwas folgern ...
Mache es hier mal schön sauber getrennt:
Wieder ist eine Mengengleichheit zu zeigen.
Zeige dazu:
1) [mm] $f^{-1}(C\cap D)\subset f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D)
[/mm]
Dazu nimm dir ein [mm]x\in f^{-1}(C\cap D)[/mm] her und folgere [mm] "\Rightarrow" [/mm] , dass dieses [mm]x\in f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D)[/mm] ist.
Schritt für Schritt und die Definitionen des Urbildes und des Mengenschnitts benutzend.
2) Die andere Inklusion, also [mm]f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D)\subset f^{-1}(C\cap D)[/mm]
Nach demselben Schema.
Nimmm dir ein Element [mm]x\in f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D)[/mm] her und folgere, dass dieses [mm]x[/mm] dann auch [mm]\in f^{-1}(C\cap D)[/mm] sein muss.
Versuchs nochmal Schritt für Schritt und mit Begründung!
> => f(x) [mm]\in[/mm] (C [mm]\cap[/mm] D) beliebig.
> => f(x) [mm]\in[/mm] C [mm]\wedge[/mm] f(x) [mm]\in[/mm] D
> => [mm]f^{-1}[/mm] (C) [mm]\cap f^{-1}[/mm] (D)
>
>
> Ich schätze meine Lösungen sind falsch und bitte um einen
> Hinweis wie man Beweise von Abbildungen genau löst.
>
> Danke schonmal.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Das leuchtet mir ein was du schreibst.
Auf meinem Übungszettel steht folgendes:
Seien X,Y Mengen und [mm] f:X\toY [/mm] eine Abbildung. Zeige:
1)f ( A $ [mm] \cup [/mm] $ B ) = f(A) $ [mm] \cup [/mm] $ f(B) [mm] \forall [/mm] A,B [mm] \subset [/mm] X
Hinweis:
y $ [mm] \in [/mm] $ f(X) $ [mm] \gdw \exists [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ X : y = f (x)
So sieht meine neue "Lösung" aus:
Sei x [mm] \in [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] B ) beliebig.
<=> x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B
Jetzt weiß ich nicht genau wie ich das aufschreiben soll, dass ich x [mm] \in [/mm] A umschreiben kann mittels der Abbildung X [mm] \to [/mm] Y und [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X : y = f (x), sodass bei mir direkt der nächste Schritt
<=> f(x) [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \wedge [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] f(B)
lauten würde.
<=> y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] f(B)
<=> y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B)
zu b)
[mm] f^{-1} [/mm] ( C [mm] \cap [/mm] D) = [mm] f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D) \forall [/mm] C,D [mm] \in [/mm] Y
Also sei x [mm] \in f^{-1} [/mm] ( C [mm] \cap [/mm] D) beliebig.
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] (C [mm] \cap [/mm] D)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] D
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] C [mm] \cap [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] D
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in f^{-1} [/mm] (C) [mm] \cap x\in f^{-1} [/mm] (D)
Das wäre dann der eine Weg.
Aber ich glaube ich habe das wieder falsch..
Schonmal ein riesen Dankeschön
|
|
|
| |
|
> Das leuchtet mir ein was du schreibst.
>
> Auf meinem Übungszettel steht folgendes:
>
> Seien X,Y Mengen und [mm]f:X\toY[/mm] eine Abbildung. Zeige:
>
> 1)f ( A [mm]\cup[/mm] B ) = f(A) [mm]\cup[/mm] f(B) [mm]\forall[/mm] A,B [mm]\subset[/mm] X
>
> Hinweis:
>
> y [mm]\in[/mm] f(X) [mm]\gdw \exists[/mm] x [mm]\in[/mm] X : y = f (x)
>
> So sieht meine neue "Lösung" aus:
Hallo,
bevor Du eine Lösung erstellst, mußt Du erstmal aufschreiben, was Du zeigen willst.
Hier geht es um die Gleichheit zweier Mengen [mm] f(A\cup [/mm] B) und [mm] f(A)\cup [/mm] f(B).
Um die mengengleichheit zu zeigen, ist zu zeigen
i) [mm] f(A\cup [/mm] B) [mm] \subseteq f(A)\cup [/mm] f(B)
und
ii) [mm] f(A)\cup f(B)\subseteq f(A\cup [/mm] B),
dh.
i) [mm] y\in f(A\cup [/mm] B) ==> [mm] y\in f(A)\cup [/mm] f(B)
und
ii) [mm] y\in f(A)\cup [/mm] f(B) ==> [mm] y\in f(A\cup [/mm] B)
Beide Richtungen solltest Du für den Anfang getrennt zeigen.
zu i)
>
> Sei x [mm]\in[/mm] ( A [mm]\cap[/mm] B ) beliebig.
Der Start paßt nun überhaupt nicht...
Du willst doch etwas über die Elemente, die in [mm] f(A\cup [/mm] B) sind, herausfinden.
Sei also [mm] y\in f(A\cup [/mm] B).
Dann gibt es ein [mm] x\in A\cup [/mm] B mit f(x)=y
==> es gibt ein x [mm] \in [/mm] A oder es gibt ein [mm] x\in [/mm] B mit f(x)=y
==> [mm] y\in [/mm] f(A) oder [mm] y\in [/mm] f(B).
==> ...
Als nächstes dann die Rückrichtung.
>
> zu b)
>
> [mm]f^{-1}[/mm] ( C [mm]\cap[/mm] D) = [mm]f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D) \forall[/mm] C,D
> [mm]\in[/mm] Y
Auch hier geht's wieder um Mengengleichheit.
Formuliere zunächst, was dazu zu beweisen ist.
Dann kann's losgehen.
>
> Also sei x [mm]\in f^{-1}[/mm] ( C [mm]\cap[/mm] D) beliebig.
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) [mm]\in[/mm] (C [mm]\cap[/mm] D)
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) [mm]\in[/mm] C [mm]\wedge[/mm] f(x) [mm]\in[/mm] D
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in f^{-1}[/mm] (C) [mm]\cap x\in f^{-1}[/mm] (D)
richtig:[mm]\Rightarrow x \in f^{-1}(C) \wedge x\in f^{-1} (D)[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] x [mm] \in f^{-1}(C) \cap f^{-1} [/mm] (D)$
>
> Das wäre dann der eine Weg.
Und jetzt mach' die andere Richtung.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
