Beweis durch vollst. Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 Do 19.05.2011 | | Autor: | anig |
| Aufgabe | Beweise durch vollständige Induktion für [mm] q\not= [/mm] -1
[mm] \summe_{i=0}^{n} q^i [/mm] = [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] |
Ich bräuchte einen Ansatz zur bearbeitung der Aufgabe. Benötige Hilfe da ich noch nie damit gearbeitet habe.
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Hallo,
schaue dir mal die ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Seite zur vollst. Induktion an und versuche, den dortigen Beweis der Gaußschen Summenformel nachzuvollziehen. Dann überlegst du dir mal den Induktionsanfang für deine Aufgabe und vielleicht auch schon einen Ansatz für einen Induktionsschluss.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 Do 19.05.2011 | | Autor: | anig |
Ich weiß schon wie vollständige Induktion ungefähr funktioniert. Das Problem ist nur dass ich etwas ich drei variablen hab (i,q,n) Das macht mir probleme. Wenn ich z.B. eins einsetze komm ich immer auf 1=0. kann ich n einfach als 1 einsetzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Do 19.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Beweise durch vollständige Induktion für [mm]q\not=[/mm] -1
Hier muß es [mm]q\not=[/mm]1 lauten !!!
>
> [mm]\summe_{i=0}^{n} q^i[/mm] = [mm]\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
> Ich bräuchte einen Ansatz zur bearbeitung der Aufgabe.
> Benötige Hilfe da ich noch nie damit gearbeitet habe.
Damit Du eine "Variable" los bist schreibe ich die Aufgabe um:
Zeige für q [mm] \ne [/mm] 1, dass für jedes n [mm] \in \IN_0 [/mm] gilt:
[mm] $1+q+q^2+....+q^n= \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}$
[/mm]
Jetzt leg mal los.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:14 Do 19.05.2011 | | Autor: | anig |
Ne sorry. Steh irgendwie auf dem Schlauch. Muss ich dass n einsetzen oder bleibt es so stehen. Wenn ich jetzt z.b. für q und n 2 einsetze kommt da nur was ungleiches raus. Ich weiß nicht warum ich damit so probleme habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 Do 19.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ne sorry. Steh irgendwie auf dem Schlauch. Muss ich dass n
> einsetzen oder bleibt es so stehen. Wenn ich jetzt z.b.
> für q und n 2 einsetze kommt da nur was ungleiches raus.
Nee , da kommt rechts und links jeweils 7 raus.
> Ich weiß nicht warum ich damit so probleme habe.
Wir haben
(*) $ [mm] 1+q+q^2+....+q^n= \bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] $
Induktionsanfang:
Zeige, dass (+) für n=0 gilt.
Induktionsvor.: für ein n [mm] \in \IN [/mm] sei (*) wahr.
Unter obiger Vor. mußt Du nun zeigen, dass (*) auch für n+1 wahr ist
FRED
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Hallo anig!
Der Wert $q_$ ist nicht variabel, sondern fest.
$i_$ ist lediglich die Zählervariable innerhalb der Summe.
Für den Induktionsanfang musst Du hier $n \ = \ 0$ (wegen Summenstart bei $i \ = \ 0$ ) einsetzen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Do 19.05.2011 | | Autor: | anig |
Ok. Dann ist 0=0 aber wenn ich dann n= 2 einsetze dann hab ich ja [mm] q^{2}= \bruch{1-q^{3}}{1-q} [/mm] Ab da an weiß ich nicht weiter
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Hallo,
bitte Fragen als Fragen stellen und nicht als Mitteilungen!
> Ok. Dann ist 0=0 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Linkerhand steht [mm]q^0=1[/mm], rechterhand [mm]\frac{1-q^{0+1}}{1-q}=\frac{1-q}{1-q}=1[/mm]
> aber wenn ich dann n= 2 einsetze dann hab
> ich ja [mm]q^{2}= \bruch{1-q^{3}}{1-q}[/mm]
Nein, linkerhand steht doch eine Summe!
Für [mm]n=2[/mm] steht linkerhand:
[mm]\sum\limits_{i=0}^2q^{i}=q^0+q^1+q^2=1+q+q^2[/mm]
Rechterhand steht [mm]\frac{1-q^3}{1-q}[/mm]
Vereinfache das mal (Polynomdivision), da kommt auch [mm]1+q+q^2[/mm] heraus!
> Ab da an weiß ich nicht
> weiter
Im Induktionsschritt gehst du davon aus, dass die Beh. für beliebiges, aber festes [mm]n\in\IN[/mm] gilt, dass also [mm]\sum\limits_{i=0}^{n}q^{i}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] ist - das ist die Indunktionsvoraussetzung.
Nun musst du zeigen, dass dann die Beh. auch für [mm]n+1[/mm] gilt, dass also gilt:
[mm]\sum\limits_{i=0}^{n+1}q^{i}=\frac{1-q^{n+2}}{1-q}[/mm]
Dazu nimm dir die linke Seite her und forme sie mithilfe der Induktionsvoraussetzung um und vereinfache weiter, bis die rechte Seite dasteht:
[mm]\sum\limits_{i=0}^{n+1}q^{i}=\left( \ \sum\limits_{i=0}^{n}q^{i} \ \right) \ + \ q^{n+1}=...[/mm]
Nun kannst du auf die Summe die Induktionsvoraussetzung anwenden ...
Damit sollte es doch klappen!
Gruß
schachuzipus
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