Beweis durch voll. Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Micky25 |
| Aufgabe | | Beweisen sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] der Ausdruck [mm] z_{n} [/mm] = [mm] \bruch{2^{4n} + (-1)^{n+1}}{17} [/mm] eine ganze Zahl darstellt. |
Hallo liebe Helfer,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Als Induktionsanfang habe ich n0 = 1 gewählt. Hierraus folgt [mm] z_{n} [/mm] = 1 und die Aussage ist wahr. Nun geht es darum die Induktionsannahme zu formulieren aber hier komme ich nicht weiter.
Mein Ansatz:
[mm] z_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{2^{4(n+1)} + (-1)^{(n+1)+1}}{17} [/mm] aber genau hier versage ich glaube ich schon.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Gruß Micky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Mo 03.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib [mm] 2^{4n+4}=16*2^{4n}=(17-1)*2^{4n}
[/mm]
und [mm] (-1)^{n+2}=(-1)^{n+1}*(-1)
[/mm]
dann solltest du auf nen guten Weg sein, die Indvors. fuer n zu benutzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:35 Di 04.11.2008 | | Autor: | Micky25 |
Das versteh ich nicht so ganz. Normalerweise habe ich doch eine linke und eine rechte Seite die ich nacher vergleichen kann. Du hast jetzt für n, n+1 eingesetzt, das habe ich ja auch schon gemacht nur fehlt mir dann der Beweis irgendwie - oder ich sehe ihn nicht. Bei Summen zum Beispiel konnte man ja bis zum n+1 Schritt die Summe abspalten, dass muss hier doch auch irgendwie gehen.
Gruß Micky
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> Das versteh ich nicht so ganz. Normalerweise habe ich doch
> eine linke und eine rechte Seite die ich nacher vergleichen
> kann. Du hast jetzt für n, n+1 eingesetzt, das habe ich ja
> auch schon gemacht nur fehlt mir dann der Beweis irgendwie
> - oder ich sehe ihn nicht. Bei Summen zum Beispiel konnte
> man ja bis zum n+1 Schritt die Summe abspalten, dass muss
> hier doch auch irgendwie gehen.
>
> Gruß Micky
Hallo,
Du möchtest im Induktionsschluß folgendes beweisen:
es gibt eine ganze Zahl [mm] z_{n+1} [/mm] mit $ [mm] z_{n+1} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{2^{4(n+1)} + (-1)^{(n+1)+1}}{17} [/mm] $== $ [mm] \bruch{2^{4n+4} + (-1)^{n+2}}{17} [/mm] $.
Beweis:
es ist [mm] \bruch{2^{4n+4} + (-1)^{n+2}}{17} [/mm] = ...
Nun mußt Du Dir was einfallen lassen, damit man sieht, daß am Ende eine ganze zahl herauskommt. Da hier eine vollständige Induktion gemacht werden soll, wird man bemüht sein, irgendei die Induktionsvoraussetzung ins Spiel zu bringen.
Daß Du hier bis zum n+1-ten Schritt 'ne Summe abspalten kannst, ist ja nicht zu erwarten, denn die Aussage ist ja von ganz anderer Machart als die, in denen Summenformeln zu beweisen sind.
Dazu, wie Du hier weitermachen kannst, hat Dir leduart doch schon gute Tips gegeben. Wie hast Du die umgesetzt? Zeig mal!
[mm] \bruch{2^{4n+4} + (-1)^{n+2}}{17} [/mm] = ???
Gruß v. Angela
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