Beweis durch Ringschluss < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 So 16.11.2008 | | Autor: | josef_ |
| Aufgabe | Satz
M und N seien Mengen. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(1) N [mm] \subset [/mm] M.
(2) M [mm] \cap [/mm] N = N.
(3) M [mm] \cup [/mm] N = M.
Beweise die Äquivalenz mit dem Ringschlussverfahren.
(1) [mm] \Rightarrow [/mm] (2) [mm] \Rightarrow(3) \Rightarrow [/mm] (1) |
Hallo, wenn ich mir das auf ein Blatt Papier male, ist es mir direkt einleuchtend. Mit der mathematischen Formulierung tu ich mich allerdings schwer.
Wie würde so eine Beweisführung ohne ein Diagramm aussehen?
Gruß,
Josef
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 So 16.11.2008 | | Autor: | pelzig |
Also z.B. [mm] $(1)\Rightarrow [/mm] (2)$: Nach Definition der Schnittmenge ist [mm] $M\cap N\subset [/mm] N$. Bleibt noch zu zeigen dass auch [mm] $M\cap N\supset [/mm] N$ ist. Sei dazu [mm] $n\in [/mm] N$ beliebig. Nach Voraussetzung (1) (d.h. [mm] $N\subset [/mm] M$) ist dann auch [mm] $n\in [/mm] M$, also [mm] $n\in M\cap [/mm] N$. Damit ist bewiesen, dass auch [mm] $M\cap N\supset [/mm] N$ ist, also insgesamt [mm] $M\cap [/mm] N=N$.
Das war die ausführliche Variante, später kann man es z.B. so schreiben:
Offensichtlich ist [mm] $M\cap N\subset [/mm] N$. Für [mm] $n\in [/mm] N$ ist nach Voraussetzung auch [mm] $n\in [/mm] M$, d.h. [mm] $n\in N\cap [/mm] M$. Also ist [mm] $N\cap [/mm] M=N$.
Oder so: trivial.
Wobei ich dir von dieser Variante eher abraten würde 
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 So 16.11.2008 | | Autor: | josef_ |
| Aufgabe | Wenn ich zeigen möchte, das N [mm] \subset [/mm] M [mm] \cap [/mm] N ist,
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würde das auch so gehen:
Wenn N [mm] \subset [/mm] M [mm] \cap [/mm] N ist, muss für alle n gelten:
(2.1) n [mm] \in [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] n [mm] \in [/mm] M und n [mm] \in [/mm] N.
Nach (1) gilt für alle n:
(2.2) n [mm] \in [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] n [mm] \in [/mm] M.
Da also alle n [mm] \in [/mm] N auch in M sind, könnnte ich in (2.1) alle n [mm] \in [/mm] N durch n [mm] \in [/mm] M ersetzen und würde
n [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] n [mm] \in [/mm] M und n [mm] \in [/mm] M erhalten.
Wäre das als Beweis gültig?
Gruß
Josef
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> Wenn ich zeigen möchte, das N [mm]\subset[/mm] M [mm]\cap[/mm] N ist,
>
> würde das auch so gehen:
> Wenn N [mm]\subset[/mm] M [mm]\cap[/mm] N ist, muss für alle n gelten:
> (2.1) n [mm]\in[/mm] N [mm]\Rightarrow[/mm] n [mm]\in[/mm] M und n [mm]\in[/mm] N.
> Nach 1. gilt für alle n:
> (2.2) n [mm]\in[/mm] N [mm]\Rightarrow[/mm] n [mm]\in[/mm] M.
> Da also alle n [mm]\in[/mm] N auch in M sind, könnnte ich in (2.1)
> alle n [mm]\in[/mm] N durch n [mm]\in[/mm] M ersetzen und würde
> n [mm]\in[/mm] M [mm]\Rightarrow[/mm] n [mm]\in[/mm] M und n [mm]\in[/mm] M erhalten.
> Wäre das als Beweis gültig?
Hallo,
"könnte" hat in einem Beweis nichts zu suchen.
Man interessiert sich hier nicht für irgendwelche Möglichkeiten, sondern dafür, was Du wirklich tust, und wie Du Dein Tun begründest.
Du mußt mutig sein: nicht "könnte" , sondern "ich mache" und "es ist, weil" - auf die Gefahr hin, daß es als verkehrt entlarvt wird - aber das Andeuten von irgendwelchen möglichen Möglichkeiten wäre genauso verkehrt, weil ja nichts getan wird.
Mathe ist halt für die ganz Knallharten: hier geht's um Fakten und messerscharfe Schlüsse und nicht um Gelaber ...
Zuerst muß man immer aufschreiben, was man zeigen möchte:
zu zeigen:(1) N $ [mm] \subset [/mm] $ M ==> (2b) N [mm] \subseteq N\cap [/mm] M, dh.
> Wenn N [mm]\subset[/mm] M [mm]\cap[/mm] N ist, muss für alle n gelten:
> (2.1) n [mm]\in[/mm] N [mm]\Rightarrow[/mm] n [mm]\in[/mm] M und n [mm]\in[/mm] N.
Beweis:
Sei [mm] n\in [/mm] N.
>
> Nach 1. gilt
> [/mm] n [mm]\in[/mm] M.
> Da also alle n [mm]\in[/mm] N
und
> auch in M sind ist,
ist nach Definition der Schnittmenge [mm] n\in N\cap [/mm] M.
Ich hoffe, Du verstehst, daß Deine Beweisgedanken natürlich völlig in Ordnung waren. Es geht mir um Formulierung und Begründung.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:54 Mo 17.11.2008 | | Autor: | josef_ |
Ok, mir ist jetzt einiges viel klarer geworden. Ich danke euch für eure Antworten.
Gruß,
Josef
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