Beweis durch Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Sa 28.09.2013 | | Autor: | Lethor |
Hallo zusammen,
Ich habe ein Problem mit einer Aufgabe.
Ich soll folgende Aussage durch komplette Induktion beweisen.
[mm]
\summe_{i=1}^n \bruch {1}{i(i+1)} = 1 - \bruch {1} {n+1}
[/mm]
für alle [mm] n \in \IN[/mm]
Der Induktionsanfang mit [mm]n_0 = 1[/mm] gilt.
Beim Induktiosschritt habe ich allerdings ein Problem.
Die Musterlösung sieht wie folgt aus:
[mm] \summe_{i=1}^n+1 \bruch {1}{i(i+1)} = \summe_{i=1}^n \bruch {1}{i(i+1)} + \bruch {1} {(n+1)(n+2)} [/mm]
(Bei der ersten Summe sollte oben n+1 stehen aber das scheint nicht zu funktionieren)
[mm] = 1 - \bruch {1} {n+1} + \bruch {1} {(n+1)(n+2)} [/mm]
[mm] = 1 - \bruch {(n+2)-1} {(n+1)(n+2)} [/mm]
[mm] = 1 - \bruch {n+1} {(n+1)(n+2)} [/mm]
[mm] = 1 - \bruch {1} { n+2} [/mm]
Ich verstehe nicht wie nach dem Erweitern des Bruchs das + auf einmal zum - wird.
Also wie dieser Ausdruck zustande kommt:
[mm] 1 - \bruch {1} {n+1} + \bruch {1} {(n+1)(n+2)} = 1 - \bruch {(n+2)-1} {(n+1)(n+2)} [/mm]
Mit freundlichen Grüßen
Jan aka Lethor
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Jan aka Lethor, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
vorab: wir versuchen hier alles, um uns ans Urheberrecht zu halten. Durch Verlinkung auf fremde Seiten (wie hier imageshack) sind wir zwar durch unseren Disclaimer geschützt, aber wirklich koscher ist das auch nicht. Am besten ist es immer noch, den betreffenden Teil abzuschreiben, obwohl auch das nicht gänzlich juristisch sicher ist. Das ist ein Problem.
Bei einer Musterlösung dieser "Einfachheit" wird man aber von einer sog. "geringen Schöpfungshöhe" ausgehen dürfen. Ansonsten wäre es ja auch gar nicht möglich, eine solche Frage zu einer Musterlösung zu stellen.
Aber mal zur Sache:
> Ich habe ein Problem mit einer Aufgabe.
> Ich soll folgende Aussage durch komplette Induktion
> beweisen.
> [mm]
\summe_{i=1}^n \bruch {1}{i(i+1)} = 1 - \bruch {1} {n+1}
[/mm]
>
> für alle [mm]n \in \IN[/mm]
>
> Der Induktionsanfang mit [mm]n_0 = 1[/mm] gilt.
> Beim Induktiosschritt habe ich allerdings ein Problem.
> Die Musterlösung sieht wie folgt aus:
> [Externes Bild http://imageshack.us/photo/my-images/853/zikc.png/]
Siehe oben. (Thema Schöpfungshöhe: heute Stoff der 8.Klasse)
> Ich verstehe nicht wie nach dem Erweitern des Bruchs das +
> auf einmal zum - wird.
> Also wie dieser Ausdruck zustande kommt:
> [mm]1 - \bruch {1} {n+1} + \bruch {1} {(n+1)(n+2)} = 1 - \bruch {(n+2)-1} {(n+1)(n+2)}[/mm]
Na, es gilt doch
[mm] 1-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)}=1-\left(\bruch{1}{n+1}\blue{\mathbb{-}}\bruch{1}{(n+1)(n+2)}\right)=\cdots
[/mm]
Alles klar? Sonst rechne mal rückwärts und überprüfe die Gleichheit. Das sollte nicht schwerfallen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Sa 28.09.2013 | | Autor: | Lethor |
Danke für die schnelle Antwort.
Warum bin ich da nicht selbst drauf gekommen.... Ist wohl Zeit für eine Pause.
Wie auch immer. Nochmals vielen Dank.
Gruß
Jan
PS: Habe die Fragestellung schon während du geantwortet hast geändert ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Sa 28.09.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Danke für die schnelle Antwort.
Wir versuchen unser Bestes...
> Warum bin ich da nicht selbst drauf gekommen.... Ist wohl
> Zeit für eine Pause.
Laut aktueller Hirn- und Lernforschung gibt es nichts, was das Lernen mehr fördert als Pausen. Möglichst lange sogar, und wenn irgend möglich sogar mit einem Mindestanteil an Schlaf.
> Wie auch immer. Nochmals vielen Dank.
Gern geschehen. Ich gehe jetzt mal eine Stunde meine eigenen Lernprozesse fördern. Gähn. 
Grüße
reverend
> PS: Habe die Fragestellung schon während du geantwortet
> hast geändert ;)
Ja, habe ich direkt hinterher gesehen. Danke trotzdem für den Hinweis.
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