Beweis des lim der Geom.Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Di 26.08.2008 | | Autor: | stowoda |
| Aufgabe | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x^{n}=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } |x| < 1\\ \infty, & \mbox{falls } x>1 \\ unbestimmt, & \mbox{falls } x\le -1 \end{cases}
[/mm]
Und als Beweis:
für 0<|x|<1 setzen wir [mm] |x|=\bruch{1}{1+p} [/mm] mit p > 0 und erhalten
[mm] |x|^{n}=\bruch{1}{(1+p)^{n}}=\bruch{1}{1+np+...+p^{n}}<\bruch{1}{np}
[/mm]
Nun sei [mm] \epsilon [/mm] > 0 (beliebig klein aber fest) vorgegeben. Wählt man [mm] n_{0}\in\IN [/mm] mit [mm] n_{0} [/mm] > [mm] \bruch{1}{ep}=\bruch{|x|}{\epsilon(1-|x|)}, [/mm] so ist [mm] |x^{n}-0|=|x^{n}| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für alle n [mm] \ge n_{0} [/mm] |
Hallo,
das Erste was ich nicht verstehe bei diesem Beweis, ist [mm] \bruch{1}{1+np+...+p^{n}}<\bruch{1}{np}.
[/mm]
Wieso taucht da [mm] \bruch{1}{np} [/mm] auf?
Vielleicht klärt sich der Rest nachdem ich diesen Schritt begriffen habe, deswegen stelle ich erstmal keine weiteren Fragen.
Grüsse
stowoda
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Di 26.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo stowoda!
Hier wurde wie folgt abgeschätzt sowie die Eigenschaft $p \ > \ 0$ verwendet:
[mm] $$(1+p)^n [/mm] \ = \ [mm] 1+\vektor{n\\1}*p^1+\vektor{n\\2}*p^2+\vektor{n\\3}*p^3+...+p^n [/mm] \ = \ [mm] 1+n*p+...+p^n$$
[/mm]
Nun sind alle Summanden $> \ 0$ , so dass gilt:
[mm] $$1+n*p+...+p^n [/mm] \ > \ 0+n*p+0+...+0 \ = \ n*p$$
Da beide Terme nun im Nenner des Bruches stehen, muss man das Ungleichheitszeichen umdrehen.
Gruß
Loddar
PS: Etwas eleganter hätte man hier auch mittels ![[]](/images/popup.gif) Bernoulli Ungleichung abschätzen können:
[mm] $$(1+p)^n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 1+n*p \ > \ n*p$$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Di 26.08.2008 | | Autor: | stowoda |
Heißt es, dass mit p>0, p sehr klein werden kann und damit die Potenzen von p, also [mm] p^{2} [/mm] , [mm] p^{3} [/mm] usw. nicht ins Gewicht fallen?
Was passiert denn mit der 1 am Anfang? Wieso fällt diese weg?
Grüsse
stowoda
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Di 26.08.2008 | | Autor: | pelzig |
> Heißt es, dass mit p>0, p sehr klein werden kann und damit
> die Potenzen von p, also [mm]p^{2}[/mm] , [mm]p^{3}[/mm] usw. nicht ins
> Gewicht fallen?
Nein, die Abschätzung gilt immer, egal wie klein oder groß p ist (hauptsache p>0). Beim Abschätzen schmeißt man einfach was weg, kann dann aber natürlich nicht mehr $=$ schreiben sondern [mm] $\le,<,>$ [/mm] oder [mm] $\ge$. [/mm] Ziel ist es, den Ausdruck den man abschäzt zu vereinfachen:
[mm] $(1+p)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}p^k=1+np+...+np^{n-1}+p^n$
[/mm]
Das ist reichlich kompliziert, wir sind faul und wollen es vereinfachen, also schätzen wir "nach unten" ab, da nämlich p>0 ist, gilt:
[mm] $1+np+...+np^{n-1}+p^n>np$, [/mm] also insgesamt [mm] $(1+p)^n>np$. [/mm] Genauso gut hätte man [mm] $(1+p)^n>1$ [/mm] oder [mm] $(1+p)^n>-123$ [/mm] abschätzen können, aber wenn man zu großzügig abschätzt klappen z.B. die Konvergenzbeweise nicht mehr.
Abstrakter formuliert benutzt man dabei die Transitivität der $<$-Relation, d.h. aus $a<b$ und $b<c$ folgt $a<c$.
Wenn man also zeigen muss dass $a<b$ ist, kann man auch ein $a'$ suchen sodass $a<a'$ und $a'<b$, dann ist wegen der Transitivität auch $a<b$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 26.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo stowoda!
Nur der Vollständigkeit halber: in Deiner Auflistung für die geometrische Folge fehlt der Fall $x \ = \ +1$ .
Gruß
Loddar
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