Beweis des Satzes von LHopital < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] f:[a,+\infty])\to\IR [/mm] und [mm] g:[a,+\infty])\to\IR [/mm] auf dem Intervall [mm] (a,+\infty) [/mm] differenzierter. Wenn außerdem [mm] g'(x)\not=0 [/mm] für alle x aus dem Intervall ist, wenn [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=0, \limes_{x\rightarrow\infty}g(x)=0 [/mm] und wenn [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)}=0, [/mm] so existiert ein Limes und es gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)}. [/mm] |
Guten Abend!
Ich soll die obige Aussage, eine Variante des Satzes von L'Hopital, beweisen. Hierbei habe ich keine Idee, wie ich mit dem Beweis starten soll. Meine Idee wäre, es mit der Umformung des Differenzenquotienten zu versuchen, da man ja unter anderem den Quotienten von f'(x) und g'(x) betrachtet.
Über einen Denkanstoß von Euch würde ich mich sehr freuen!
Beste Grüße
mathe_thommy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:22 Mo 30.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]f:[a,+\infty])\to\IR[/mm] und [mm]g:[a,+\infty])\to\IR[/mm] auf dem
> Intervall [mm](a,+\infty)[/mm] differenzierter. Wenn außerdem
> [mm]g'(x)\not=0[/mm] für alle x aus dem Intervall ist, wenn
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=0, \limes_{x\rightarrow\infty}g(x)=0[/mm]
> und wenn [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)}=0,[/mm]
> so existiert ein Limes und es gilt:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)}.[/mm]
> Guten Abend!
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> Ich soll die obige Aussage, eine Variante des Satzes von
> L'Hopital, beweisen. Hierbei habe ich keine Idee, wie ich
> mit dem Beweis starten soll. Meine Idee wäre, es mit der
> Umformung des Differenzenquotienten zu versuchen, da man ja
> unter anderem den Quotienten von f'(x) und g'(x)
> betrachtet.
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> Über einen Denkanstoß von Euch würde ich mich sehr
> freuen!
Bitteschön:
betrachte [mm] f_1(t):=f(1/t) [/mm] und [mm] g_1(t):=g(1/t) [/mm] für t [mm] \to [/mm] 0+0.
FRED
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> Beste Grüße
> mathe_thommy
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