Beweis der Ungleichung < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Sa 03.11.2012 | | Autor: | neotron |
| Aufgabe | Hallo Ihr liebe,
ich braeuchte Ihre Hilfe, woellte diese Aufgabe zu loesen, vieleicht habt Ihr Zeit, um mir zu helfen :)
Zeigen Sie durch einen Widerspruchsbeweis, dass für alle reellen Zahlen a und b
gilt
[mm] \bruch{|a+b|}{1+|a+b|} \le \bruch{|a|}{1+|a|} [/mm] + [mm] \bruch{|b|}{1+|b|} [/mm] > 0
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis die Dreiecksungleichung |a + b| [mm] \le [/mm] |a| + |b| benutzen |
Kann mir jemand einen Tipp geben wie soll ich anfangen??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Sa 03.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo Ihr liebe,
> ich braeuchte Ihre Hilfe, woellte diese Aufgabe zu loesen,
> vieleicht habt Ihr Zeit, um mir zu helfen :)
> Zeigen Sie durch einen Widerspruchsbeweis, dass für alle
> reellen Zahlen a und b
> gilt
> [mm]\bruch{|a+b|}{1+|a+b|} \le \bruch{|a|}{1+|a|}[/mm] +
> [mm]\bruch{|b|}{1+|b|}[/mm] > 0
Nimm an, dass [mm] \bruch{|a+b|}{1+|a+b|} > \bruch{|a|}{1+|a|} +\bruch{|b|}{1+|b|} [/mm] gilt, und forme mit Rechenbefehlen so lange um, bis eine offensichtlich falsche Ungleichung dasteht.
Als erstes würde ich die Ungleichung mit allen drei Nennern multiplizieren:
|a+b|(1+|a|)(1+|b|)=|a|(1+|a+b|)(1+|b|)+|b|(1+|a+b|)(1+|a|)
So nun mal kräftig ausmultiplizieren, gleiches auf beiden Seiten wegsubtrahieren und schauen, was übrig bleibt...
Gruß Abakus
>
>
> Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis die Dreiecksungleichung |a
> + b| [mm]\le[/mm] |a| + |b| benutzen
>
> Kann mir jemand einen Tipp geben wie soll ich anfangen??
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Sa 03.11.2012 | | Autor: | neotron |
Hallo Abacus,
danke fuer deine Antwort, ich habe ne Frage:
hier muss "=" stehen oder ">"??
> |a+b|(1+|a|)(1+|b|)=|a|(1+|a+b|)(1+|b|)+|b|(1+|a+b|)(1+|a|)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Sa 03.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo Abacus,
> danke fuer deine Antwort, ich habe ne Frage:
> hier muss "=" stehen oder ">"??
> >
> |a+b|(1+|a|)(1+|b|)=|a|(1+|a+b|)(1+|b|)+|b|(1+|a+b|)(1+|a|)
Mein (Tipp-)Fehler. Da alle Faktoren positiv sind, bleibt das Relationszeichen bei ">", also
|a+b|(1+|a|)(1+|b|) > |a|(1+|a+b|)(1+|b|)+|b|(1+|a+b|)(1+|a|)
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Sa 03.11.2012 | | Autor: | neotron |
Abakus entschuldige bitte, kannst du mir erklaeren wie ich diese Ungleichuing umformen kann??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:30 Sa 03.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Abakus entschuldige bitte, kannst du mir erklaeren wie ich
> diese Ungleichuing umformen kann??
Auf die Gefahr hin, mich zu wiederholen: Multipliziere die Klammern aus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Sa 03.11.2012 | | Autor: | neotron |
genau das verstehe ich nicht, was ist beispielsweise |a|*|a| oder |a+b|*|a|
und noch eine Frage wenn ich multipliziere dann scxhliesslich bekomme ich eine Ungleichung z.B |a|*|b|*|c| > 0 aber was ist wenn a b und c gleich null sind??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Sa 03.11.2012 | | Autor: | abakus |
> genau das verstehe ich nicht, was ist beispielsweise
> |a|*|a| oder |a+b|*|a|
> und noch eine Frage wenn ich multipliziere dann
> scxhliesslich bekomme ich eine Ungleichung z.B |a|*|b|*|c|
> > 0 aber was ist wenn a b und c gleich null sind??
Hallo,
das Produkt |a|*|a| taucht in der Rechnung nie auf.
Das Produkt |a+b|*|a| lässt sich erst einmal nicht weiter sinnvoll vereinfachen, aber wenn es z.B. sowohl auf der linken als auch der rechten Seite auftaucht, kann man es auf beiden Seiten wegsubtrahieren.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Sa 03.11.2012 | | Autor: | neotron |
z.B rechte Seite:
|a+b|1+|a|)(1+|b|) = |a+b|(1+|b|+|a|+|a*b|) is es sinvoll???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Sa 03.11.2012 | | Autor: | abakus |
> z.B rechte Seite:
> |a+b|1+|a|)(1+|b|) = |a+b|(1+|b|+|a|+|a*b|) is es
> sinvoll???
Ein sinnvoller Zwischenschritt,
weiter mit
...=|a+b| + |b|*|a+b| + |a|*|a+b| + |a*b|*|a+b|
Einige dieser Summanden entstehen auch auf der anderen Seite und können wegsubtrahiert werden.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:09 Sa 03.11.2012 | | Autor: | neotron |
jetzt hab ich umgeformt und meine Umformung lautet :
|a+b|*(1+|a|)(1+|b|)>|a|*(1+|a+b|)(1+|b|)+|b|(1+|a+b|)(1+|a|)
=>
|a+b|*(1+|b|+|a|+|a*b|>|a|(1+|b|+|a+b|+|a+b|*|b|+
|b|*(1+|a|+|a+b|+|a+b|*|b|
=>
|a+b|+|a+b|*|b|+|a+b|*|a|+|a+b|*|a*b>
|a|+|a*b|+|a|*|a+b|+|a|*|a+b|*|b|+
|b|+|b*a|+|b|*|a+b|+|b|*|a+b|*|a|
=>
0>|b|+|b*a|+|b|*|a+b|*|b|
ist das richtig?? Sag bitte dass es richtig ist bitte bitte bitte :):)
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