Beweis der Teilbarkeit < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien natürliche Zahlen k,m,n ∈ N\ {0}, so dass n = k·m
∀a,b ∈ Z [mm] (a^{m}-b^{m})|(a^{n}-b^{n}) [/mm] |
Hallo Zusammen,
Ich versuche gerade die oben gestellte Aussage zu beweisen, aber als Neuling der Mathematik fällt es mir nicht einfach. Ich poste mal direkt meinen Ansatz.
Die Teilbarkeit bedeutet es existiert ein d ∈ Z mit [mm] (a^{n}-b^{n})=d (a^{m}-b^{m}).
[/mm]
Beweis mit Induktion über k:
Für k=1 ist n=m und damit d=1.
Induktionsschritt: von k zu k+1, daraus folgt n=(k+1)m= km+m
[mm] (a^{m}-b^{m})|(a^{km+m}-b^{km+m}).
[/mm]
Und genau hier komme ich nicht mehr weiter. Vielleicht könnt ihr mir einen Hinweis geben.
Mit freundlichen Grüßen zahlenfreund
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 So 19.10.2014 | | Autor: | abakus |
> Gegeben seien natürliche Zahlen k,m,n ∈ N\ {0}, so dass
> n = k·m
> ∀a,b ∈ Z [mm](a^{m}-b^{m})|(a^{n}-b^{n})[/mm]
Hallo,
unter diesen Bedingungen bietet sich eine Substitution [mm] $u=a^m$ [/mm] und [mm] $v=b^m$ [/mm] geradezu an.
Dann hättest du nur zu beweisen, dass [mm] $(u^k-v^k)$ [/mm] stets durch (u-v) teilbar ist.
Gruß Abakus
> Hallo Zusammen,
>
> Ich versuche gerade die oben gestellte Aussage zu beweisen,
> aber als Neuling der Mathematik fällt es mir nicht
> einfach. Ich poste mal direkt meinen Ansatz.
> Die Teilbarkeit bedeutet es existiert ein d ∈ Z mit
> [mm](a^{n}-b^{n})=d (a^{m}-b^{m}).[/mm]
> Beweis mit Induktion über
> k:
> Für k=1 ist n=m und damit d=1.
> Induktionsschritt: von k zu k+1, daraus folgt n=(k+1)m=
> km+m
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> [mm](a^{m}-b^{m})|(a^{km+m}-b^{km+m}).[/mm]
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> Und genau hier komme ich nicht mehr weiter. Vielleicht
> könnt ihr mir einen Hinweis geben.
> Mit freundlichen Grüßen zahlenfreund
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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