Beweis der Dimension < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Mi 17.11.2010 | | Autor: | FrageAcc |
| Aufgabe | Untersuche die folgende Familie T auf lineare Unabhängigkeit im jeweil angegebenen Vektorraum. Bestimme jeweils die Dimension von Lin(T).
T = [mm] \{ \vektor{1-2i \\ 0 \\ -i},\vektor{5 \\ 0 \\ 2-i} \subset \IC \} [/mm] |
Wie ich die lineare Unabhängigkeit zeige ist mir klar.
Mir ist auch klar das die Dimension zwei sein muss, da die Vektoren l. u. sind und der Vektorraum Lin(T) ja gerade durch diese beiden Vektoren aufgespannt wird. D.h. das sind zwei Basisvektoren.
Wie notiere ich jedoch jetzt mathematisch korrekt, dass die Dimension zwei sein muss?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:32 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Untersuche die folgende Familie T auf lineare
> Unabhängigkeit im jeweil angegebenen Vektorraum. Bestimme
> jeweils die Dimension von Lin(T).
>
>
> T = [mm]\{ \vektor{1-2i \\ 0 \\ -i},\vektor{5 \\ 0 \\ 2-i} \subset \IC \}[/mm]
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> Wie ich die lineare Unabhängigkeit zeige ist mir klar.
> Mir ist auch klar das die Dimension zwei sein muss, da die
> Vektoren l. u. sind und der Vektorraum Lin(T) ja gerade
> durch diese beiden Vektoren aufgespannt wird. D.h. das sind
> zwei Basisvektoren.
Multipliziere den ersten Vektor einmal mit $1+2i$, dann siehst du, dass sie als Vektoren in [mm] $\IC^3$ [/mm] linear abhängig sind.
Die Notation T = [mm]\{ \vektor{1-2i \\ 0 \\ -i},\vektor{5 \\ 0 \\ 2-i} \subset \IC \}[/mm] macht übrigens keinen Sinn. Ein dreikomponentiger Vektor kann nicht aus [mm] $\IC$ [/mm] sein. Ich bin davon ausgegangen, dass T = [mm]\{ \vektor{1-2i \\ 0 \\ -i},\vektor{5 \\ 0 \\ 2-i}\}\subset \IC^3 [/mm] gemeint war.
Viele Grüße, Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Mi 17.11.2010 | | Autor: | FrageAcc |
Ok, danke! Und wie notiere ich nun die Dimension in dem Fall? bzw. wie notiere und begründe ich die Dimension allgemein auch im l.u. Fall?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:19 Do 18.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Dazu musst du dir eigentlich nur anschauen, wie die Dimension definiert ist. Sie ist für einen endlichdimensionalen Vektorraum definiert als die Mächtigkeit/Länge einer Basis. Das ist auch die maximale Anzahl von linear abhängigen Vektoren im Vektorraum oder auch die minimale Anzahl von Vektoren, die ein Erzeugendensystem des Vektorraums bilden.
Also nochmal konkret zu deinem Fall. Du betrachtest ja einen Untervektorraum des [mm] $\IC^3$, [/mm] der von zwei Vektoren erzeugt wird, welche aber linear abhängig sind. Das heißt der Untervektorraum wird bereits von einem der Beiden Vektoren erzeugt. Das heißt bereits einer dieser beiden Vektoren ist eine Basis deines Untervektorraumes. Deswegen ist die Dimension des Unterraumes 1.
Wären die Vektoren nun linear unabhängig, so wären sie eine Basis deines Untervektorraumes, da sie natürlich auch Erzeugendensystem des von ihnen selbst erzeugten Unterraumes sind. Also wäre in diesem Fall die Dimension 2.
Also, schau einfach immer wie viele Vektoren eine Basis des betrachteten Vekorraums bilden, dann kannst du die Dimension immer direkt ablesen.
Grüße, Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Do 18.11.2010 | | Autor: | FrageAcc |
Danke, deine Beschreibung hat mir sehr geholfen.
Allerdings stellt sich mir nun eine Frage: Wie finde ich mittels eines Gleichungssystems heraus, ob die Vektoren linear abhänging sind?
[mm] \alpha*(1-2i) [/mm] + [mm] \beta*5 [/mm] = 0
[mm] \alpha*(-i)+ \beta*(2-i) [/mm] = 0
Wenn ich diese System löse erhalte ich für [mm] \alpha [/mm] = 0 und [mm] \beta [/mm] = 0... Daher meine Frage. Wie löse ich ein Gleichungssystem in den komplexen Zahlen?
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> Danke, deine Beschreibung hat mir sehr geholfen.
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> Allerdings stellt sich mir nun eine Frage: Wie finde ich
> mittels eines Gleichungssystems heraus, ob die Vektoren
> linear abhänging sind?
>
> [mm]\alpha*(1-2i)[/mm] + [mm]\beta*5[/mm] = 0
>
> [mm]\alpha*(-i)+ \beta*(2-i)[/mm] = 0
>
> Wenn ich diese System löse erhalte ich für [mm]\alpha[/mm] = 0 und
> [mm]\beta[/mm] = 0... Daher meine Frage. Wie löse ich ein
> Gleichungssystem in den komplexen Zahlen?
Hallo,
genauso wie mit reellen Zahlen auch.
Mir ist bei dieser Aufgabe aber nicht klar, in welchem VR Du die lineare Unabhängigkeit untersuchen sollst.
ist der zugrundeliegende Vektorraum der [mm] \IC^3 [/mm] als VR über [mm] \IC,
[/mm]
oder der [mm] \IC^3 [/mm] als VR über [mm] \IR.
[/mm]
Die Angabe
> T = $ [mm] \{ \vektor{1-2i \\ 0 \\ -i},\vektor{5 \\ 0 \\ 2-i} \subset \IC \} [/mm] $
ist ja etwas skurril.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mo 22.11.2010 | | Autor: | emulb |
| Aufgabe | | T={ [mm] \vektor{3+2i \\4i\\1+2i }, \vektor{4-i \\2i\\1+3 }, \vektor{0 \\0\\0} [/mm] } [mm] \subset\IC [/mm] ³ |
ich hatte die gleiche aufgabe und der tipp hat super geholfen. nun hab ich noch ne ähnliche aufgabe aber ich hab keine ahnung wie der erste schritt gehen soll. das ist immer mein problem. kann mir jemand da einen tipp geben..bitte
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> T={ [mm]\vektor{3+2i \\
4i\\
1+2i }, \vektor{4-i \\
2i\\
1+3 }, \vektor{0 \\
0\\
0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } [mm]\subset\IC[/mm] ³
> ich hatte die gleiche aufgabe und der tipp hat super
> geholfen. nun hab ich noch ne ähnliche aufgabe aber ich
> hab keine ahnung wie der erste schritt gehen soll. das ist
> immer mein problem. kann mir jemand da einen tipp
> geben..bitte
Hallo,
immer, wenn der Nullvektor in der zu untersuchenden Menge ist, ist die Menge linear abhängig.
Überleg Dir mal eine nichttriviale Linearkombination, welche den Nullvektor ergibt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Di 23.11.2010 | | Autor: | emulb |
> immer, wenn der Nullvektor in der zu untersuchenden Menge
> ist, ist die Menge linear abhängig.
das haben wir in die definition hineingeschrieben aber wie beweise ich das?
> Überleg Dir mal eine nichttriviale Linearkombination,
> welche den Nullvektor ergibt.
also [mm] \alpha [/mm] 1. vektor + [mm] \beta [/mm] 2. vektor = nullvektor. soll ich dafür sorgen oder?
grüssle
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> > immer, wenn der Nullvektor in der zu untersuchenden
> Menge
> > ist, ist die Menge linear abhängig.
> das haben wir in die definition hineingeschrieben aber wie
> beweise ich das?
> > Überleg Dir mal eine nichttriviale Linearkombination,
> > welche den Nullvektor ergibt.
> also [mm]\alpha[/mm] 1. vektor + [mm]\beta[/mm] 2. vektor = nullvektor.
> soll ich dafür sorgen oder?
>
> grüssle
Hallöle,
das war Dein T:
T={ [mm] \vektor{3+2i \\4i\\1+2i }, \vektor{4-i \\2i\\1+3 }, \vektor{0 \\0\\0} [/mm] }
Ist
$ 0* [mm] \vektor{3+2i \\4i\\1+2i }+0* \vektor{4-i \\2i\\1+3 }+6789* \vektor{0 \\0\\0}$
[/mm]
eine nichttriviale Linearkombination des Vektors [mm] \vektor{0 \\0\\0} [/mm] oder nicht ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 23.11.2010 | | Autor: | emulb |
ach das wars dann? dass meint man dann mit nichtriviale linearkombination?
danke :)
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