Beweis der Bijektivität < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei f: R->R die Funktion mit f(x) := 2x+1 für x E R.
a) Zeichnen Sie die Funktion im Intervall [-3,+3]
b) Beweisen Sie, dass die Funktion f: R->R injektiv ist
c) Beweisen Sie, dass die Funktion f: R->R surjektiv ist
d) Für a,b E R sei f a,b : R->R die Funktion mit f a,b (x) := ax + b für x E R. Für welche Paare (a.b) ist f a,b injektiv (bzw. surjektiv)? |
Hallo,
ich habe bei meinen Mathe-Hausaufgaben aus dem Studium ein paar Probleme...
Wie kann/sollte ich beweisen, dass eine Funktion injektiv ist? Erwarten tue ich eigentlich, dass sie es nicht ist, da es ja bei einer Gerade für jedes x ein y gibt und bei einer injektiven Funktion würden ja y übrig bleiben...
Wie muss ich das formulieren?
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Mo 30.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es sei f: R->R die Funktion mit f(x) := 2x+1 für x E R.
> a) Zeichnen Sie die Funktion im Intervall [-3,+3]
> b) Beweisen Sie, dass die Funktion f: R->R injektiv ist
> c) Beweisen Sie, dass die Funktion f: R->R surjektiv ist
> d) Für a,b E R sei f a,b : R->R die Funktion mit f a,b
> (x) := ax + b für x E R. Für welche Paare (a.b) ist f a,b
> injektiv (bzw. surjektiv)?
> Hallo,
>
> ich habe bei meinen Mathe-Hausaufgaben aus dem Studium ein
> paar Probleme...
>
> Wie kann/sollte ich beweisen, dass eine Funktion injektiv
> ist? Erwarten tue ich eigentlich, dass sie es nicht ist,
Sie ist es aber !
> da
> es ja bei einer Gerade für jedes x ein y gibt und bei
> einer injektiven Funktion würden ja y übrig bleiben...
Hä ?
>
> Wie muss ich das formulieren?
Offensichtlich hast Du nicht den leisesten Schimmer, was injektiv (surjektiv) bedeutet.
Also, mach Dich mal schlau und erzähle uns die Definitionen. Dann sehen wir weiter.
FRED
>
> Gruß
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Also... Eine Gerade ist ja bijektiv, heißt sie muss surjektiv und injektiv sein. Surjektiv ist sie, da ja für jedes x ein y existiert. Injektiv ist sie, weil x1 ungleich x2 und f(x1) ungleich f(x2) ist...
Was mich hier verwirrt ist, dass es beim injektiven ja nicht Vorraussetzung ist, dass alle Elemente des Wertebereichs getroffen werden...
Wie führe ich also nun den Beweis durch? Auf einigen Seiten im Netz habe ich schon gelesen, dass man bei einer bijektiven Funktion einfach nur die Umkehrfunktion bilden und dann die Werte einsetzen soll, um zu zeigen, dass die gleichen Wertpaare herauskommen... reicht das tatsächlich? Oder muss ich da einen ganz anderen Ansatz wählen?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Surjektiv ist sie, da ja für jedes x ein y existiert.
Nein, das ist nicht die Definition von Surjektivität.
Surjektiv heisst, es gibt für jedes y ein x, so dass $f(x) = y$
Der Unterschied ist gravierend.
> Injektiv ist sie, weil x1 ungleich x2 und f(x1) ungleich f(x2) ist...
Auch hier: Mathematisch sauber ausgedrückt ist was anderes.
Es muss heissen: Aus [mm] x_1 [/mm] ungleich [mm] x_2 [/mm] FOLGT [mm] f(x_1) [/mm] ungleich [mm] f(x_2) [/mm] für ALLE [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] aus dem Definitionsbereich.
Zur Übung kannst du dir beide Definitionen ja nochmal mit Quantoren hinschreiben.
> Was mich hier verwirrt ist, dass es beim injektiven ja
> nicht Vorraussetzung ist, dass alle Elemente des
> Wertebereichs getroffen werden...
Wie du oben siehst, ist das per Definition ja auch gar nicht notwendig.
> Wie führe ich also nun den Beweis durch? Auf einigen
> Seiten im Netz habe ich schon gelesen, dass man bei einer
> bijektiven Funktion einfach nur die Umkehrfunktion bilden
> und dann die Werte einsetzen soll, um zu zeigen, dass die
> gleichen Wertpaare herauskommen... reicht das tatsächlich?
Ja das tut es, nur warum? Wie hängt den Bijektivität und Umkehrfunktion zusammen?
> Oder muss ich da einen ganz anderen Ansatz wählen?
Hier kannst du beide Eigenschaften auch viel schneller direkt zeigen, das ist jeweils ein Zweizeiler.
Wie fred schon sagte: Schreibe dir zu beiden Eigenschaften die Definition mal SAUBER auf (d.h. mit Quantoren) und dann schreibe nochmal auf, was du also BEI DIESEM BEISPIEL zeigen musst.
MFG,
Gono.
|
|
|
|
