Beweis der Basiswechselmatrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:15 Do 28.01.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgenden Satz:
Sei S die Matrix eines Basiswechsels in einem endlich-dimensionalen Vektorraum. Dann ist S regulär und [mm] S^{-1} [/mm] beschreibt den umgekehrte Basiswechsel. |
Hallo,
ich weiß was eine Basiswechselmatrix tut. Sie repräsentiert eine Abbildung, welche einen Basis auf eine andere entsprechende Basis abbildet.
Jedoch finde ich nirgendwo ein Hinweis, wie ich die Regularität der Basis zeigen kann.
Bei [mm] S^{-1} [/mm] hätte ich diesen Weg:
Sei A = [mm] {v_{1},v_{2} ) eine Basis die durch S auf B=(w_[1},w{2}) [/mm] abgebildet wird.
[mm] S(v_{i}) [/mm] = [mm] w_{i} [/mm] <=> [mm] SS^{-1}(v_{i})=S^{-1}w_{i}, [/mm] wegen [mm] SS^{-1}=I
[/mm]
[mm] =>v_{i} [/mm] = [mm] S^{-1}w_{i}
[/mm]
Man hat und auch noch einen Hinweiß in der Vorleseung gegeben : AB=I => A&B sind regulär
Stimmt das? Oder hab ich da was falsch mitgeschrieben? Ist das immer so das wenn eine Matrix mit ihrer Inversen multipliziert die Identität rauskommen, die Matrix und ihre Inverse regulär sind?
Gruß Snafu
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Hi,
also ich habe verstanden wieso eine Basiswechselmatrix immer regulär sein muss.Aber ich weiß jetzt nicht wie ich das mathematisch korrekt und schön aufs Blatt bringen.
Vielleicht kann mir jemand sagen, ob mein Vorgehen richtig, verständlich oder gar falsch ist.
Hat man zwei Basen V= [mm] {v^{k}} [/mm] und W= [mm] {w^{k}} [/mm] mit [mm] w^{k},v^{k} \in K^{n} [/mm] und sei S die Basiswechselmatrix [mm] _{W}T_{V}, [/mm] also von der Basis W in die Basis V überführt.
Dann ist die Matrix S definiert durch: [mm] S=s_{j,k} [/mm] mit [mm] v^{k}=\summe_{j=1}^{n}s_{j,k}w^{j}. [/mm] Jetzt weiß man, dass [mm] v^{k} [/mm] für k=1,..,n linear unabhängig ist, da diese Vektoren einen Basis bilden. Somit kann auch keine der obigen Summen als Linearkombi. der anderen Summen gebildet werden.Daraus folgt doch, dass auch die Koeffizientenfolge, welche ja dann die Wechselmatrix bilden, nicht durch Linearkombi.der anderen Koeffizientenfolgen gebildet werden können. Das sagt aus, dass die Spalten der Wechselmatrix linear unabhängig sind und somit die Matrix regulär ist.
Mein Problem ist von den Koeffizienten in den einzelnen Summen auf die Spalten der Wechselmatrix zu kommen.
Snafu
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> Hi,
> also ich habe verstanden wieso eine Basiswechselmatrix
> immer regulär sein muss.Aber ich weiß jetzt nicht wie ich
> das mathematisch korrekt und schön aufs Blatt bringen.
Hallo,
auf jeden fall ist#s gar nicht so übel, was Du Dir hier ersonnen hast.
> Vielleicht kann mir jemand sagen, ob mein Vorgehen
> richtig, verständlich oder gar falsch ist.
> Hat man zwei Basen V= [mm]{v^{k}}[/mm] und W= [mm]{w^{k}}[/mm] mit
> [mm]w^{k},v^{k} \in K^{n}[/mm] und sei S die Basiswechselmatrix
> [mm]_{W}T_{V},[/mm] also von der Basis W in die Basis V
> überführt.
> Dann ist die Matrix S definiert durch: [mm]S=s_{j,k}[/mm] mit
> [mm]v^{k}=\summe_{j=1}^{n}s_{j,k}w^{j}.[/mm]
Hallo,
Du sprichst also von der Matrix, die den Basiswechsel von V nach W beschreibt, von [mm] _WT_V.
[/mm]
> Jetzt weiß man, dass
> [mm]v^{k}[/mm] für k=1,..,n linear unabhängig ist, da diese
> Vektoren einen Basis bilden.
Das stimmt.
> Somit kann auch keine der
> obigen Summen als Linearkombi. der anderen Summen gebildet
> werden.
Dem folge ich auch.
> Daraus folgt doch, dass auch die Koeffizientenfolge,
> welche ja dann die Wechselmatrix bilden, nicht durch
> Linearkombi.der anderen Koeffizientenfolgen gebildet werden
> können.
Hm. Ich meine, daß man hier genau sagen muß, warum das so ist.
Das sieht man nicht sofort, oder?
Ich meine, daß man es vorrechnen muß.
> Das sagt aus, dass die Spalten der Wechselmatrix
> linear unabhängig sind
> und somit die Matrix regulär ist.
>
> Mein Problem ist von den Koeffizienten in den einzelnen
> Summen auf die Spalten der Wechselmatrix zu kommen.
Achso, also das, was ich schon angemerkt habe.
Ich hab' grad nicht so viel Lust auf viel Indexgewurschtel.
Ich mach das mal für n=3
[mm] v_1=\summe a_iw_i
[/mm]
[mm] v_2=\summe b_iw_i
[/mm]
[mm] v_3=\summe c_iw_i
[/mm]
[mm] S=\pmat{a_1 &b_1&c_1\\a_2 &b_2&c_2\\a_3 &b_3&c_3}.
[/mm]
Sei [mm] \lambda*a +\mu*b+\nu*c=0
[/mm]
[mm] ==>(\lambda*a_1 +\mu*b_1+\nu*c_1)w_1+(\lambda*a_ +\mu*b_2+\nu*c_2)w_2+(\lambda*a_3 +\mu*b_3+\nu*c_3)w_3=0
[/mm]
==> [mm] \lambda v_1+\mu v_2+\nu v_3=0 [/mm] ==> [mm] \lambda=\mu=\nu=0.
[/mm]
Damit sind die Spalten linear unabhängig.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Sa 30.01.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Hi,
ok das hilft!
Vielen Dank.
Snafu
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