Beweis cos(x)+cos(y) < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Fr 01.08.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Rechenformel:
[mm] cos(x)+cos(y)=2*cos(\bruch{x+y}{2})*cos(\bruch{x-y}{2}) [/mm] |
Irgendwie komm ich nicht zum Ende:
[mm] cos(x)+cos(y)=2*cos(\bruch{x+y}{2})*cos(\bruch{x-y}{2})
[/mm]
Habe erstmal substituiert um ein bisschen Schreibarbeit zu sparen:
[mm] v:=\bruch{x}{2}
[/mm]
[mm] w:=\bruch{y}{2}
[/mm]
[mm] cos(x)+cos(y)=2*[\left(cos(v)*cos(w)-sin(v)*sin(w)\right)*\left(cos(v)*cos(w)+sin(v)*sin(w)\right)
[/mm]
[mm] =2*[cos^2(v)*cos^2(w)+cos(v)*cos(w)*sin(v)*sin(w)-cos(v)*cos(w)*sin(v)*sin(w)-sin^2(v)*sin^2(w)]
[/mm]
[mm] =2*[cos^2(v)*cos^2(w)-sin^2(v)*sin^2(w)]
[/mm]
Aber ab hier komm ich nicht so ganz weiter... Habe auch schon einiges mit dem trigonometrischen Pythagoras probiert aber komme auf kein vernünftiges Ergebnis :(
Danke schonmal im vorraus für Hilfe und besten Gruß,
tedd
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> Beweisen Sie folgende Rechenformel:
> [mm]cos(x)+cos(y)=2*cos(\bruch{x+y}{2})*cos(\bruch{x-y}{2})[/mm]
> Irgendwie komm ich nicht zum Ende:
> [mm]cos(x)+cos(y)=2*cos(\bruch{x+y}{2})*cos(\bruch{x-y}{2})[/mm]
> Habe erstmal substituiert um ein bisschen Schreibarbeit zu
> sparen:
> [mm]v:=\bruch{x}{2}[/mm]
> [mm]w:=\bruch{y}{2}[/mm]
Ich verstehe nicht, was Dir diese Definition von $v$ und $w$ bringt.
>
> [mm]cos(x)+cos(y)=\red{2*}[\left(cos(v)*cos(w)-sin(v)*sin(w)\right)*\left(cos(v)*cos(w)+sin(v)*sin(w)\right)[/mm]
Warum gilt hier das erste Gleichheitszeichen und warum beginnst Du gleich schon mit einem Faktor 2?
>
> [mm]=2*[cos^2(v)*cos^2(w)+cos(v)*cos(w)*sin(v)*sin(w)-cos(v)*cos(w)*sin(v)*sin(w)-sin^2(v)*sin^2(w)][/mm]
> [mm]=2*[cos^2(v)*cos^2(w)-sin^2(v)*sin^2(w)][/mm]
Ich denke, Du solltest statt mit Deiner obigen Definition von $v$ und $w$ mit den Definitionen
[mm]v := \bruch{x+y}{2}, \quad w := \bruch{x-y}{2}[/mm]
beginnen. Dann ist nämlich, aufgrund des Additionstheorems für [mm] $\cos$,
[/mm]
[mm]\begin{array}{lcl}
\cos(x)+\cos(y) &=& \cos(v+w)+\cos(v-w)\\
&=& \big[\red{\cos(v)\cos(w)}\blue{-\sin(v)\sin(w)}\big]+\big[\red{\cos(v)\cos(w)}\blue{+\sin(v)\sin(w)\big]\\
&=& \red{2\cos(v)\cos(w)}+\blue{0}\\
&=& 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}
\end{array}[/mm]
Dies ist vermutlich die Umformung, die Dir ungefähr vorschwebte. Nur hast Du mit völlig unglücklich gewählten Definitionen von $v$ und $w$ angefangen und schon das erste Gleichheitszeichen führt Dich zu einem Ausdruck, der auch dann, wenn Du $v$ und $w$ richtig definiert hättest, nicht mehr zum gewünschten Ergebnis führt, ganz gleich wie richtig und scharfsinnig Du nach diesem ersten falschen Schritt weiterrechnest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 So 03.08.2008 | | Autor: | tedd |
Hey Somebody, danke für die Antwort.
Wollt trotzdem nochmal fragen, und zwar ob das hier ohne Substitution richtig ist:
[mm] 2\cdot{}cos(\bruch{x+y}{2})\cdot{}cos(\bruch{x-y}{2})
[/mm]
[mm] =2*\left(cos(\bruch{x}{2})*cos(\bruch{y}{2})-sin(\bruch{x}{2})*sin(\bruch{y}{2})\right)*\left(cos(\bruch{x}{2})*cos(\bruch{y}{2})+sin(\bruch{x}{2})*sin(\bruch{y}{2})\right)
[/mm]
[mm] =2*\left(cos^2(\bruch{x}{2})*cos^2(\bruch{y}{2})-sin^2(\bruch{x}{2})*sin^2(\bruch{y}{2})\right)
[/mm]
stimmt das nicht?
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> Hey Somebody, danke für die Antwort.
> Wollt trotzdem nochmal fragen, und zwar ob das hier ohne
> Substitution richtig ist:
>
> [mm]2\cdot{}cos(\bruch{x+y}{2})\cdot{}cos(\bruch{x-y}{2})[/mm]
>
> [mm]=2*\left(cos(\bruch{x}{2})*cos(\bruch{y}{2})-sin(\bruch{x}{2})*sin(\bruch{y}{2})\right)*\left(cos(\bruch{x}{2})*cos(\bruch{y}{2})+sin(\bruch{x}{2})*sin(\bruch{y}{2})\right)[/mm]
>
> [mm]=2*\left(cos^2(\bruch{x}{2})*cos^2(\bruch{y}{2})-sin^2(\bruch{x}{2})*sin^2(\bruch{y}{2})\right)[/mm]
>
> stimmt das nicht?
Doch, das stimmt. Aber was es Dir für den gewünschten Beweis der Formel [mm] $\cos(x)+\cos(y)=2\cos\frac{x+y}{2}\cdot\cos\frac{x-y}{2}$ [/mm] nützt, ist mir nicht klar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 So 03.08.2008 | | Autor: | tedd |
Ich dachte ich komm durch weiteres umformen jetzt noch irgendwie weiter...
Bei einem anderen Beweis hat es jedenfalls geklappt:
[mm] sin(x)+sin(y)=2*sin(\bruch{x+y}{2})*cos(\bruch{x-y}{2})
[/mm]
[mm] 2*sin(\bruch{x+y}{2})*cos(\bruch{x-y}{2})
[/mm]
[mm] =2*\left(sin(\bruch{x}{2})*cos(\bruch{y}{2})+sin(\bruch{y}{2}*cos(\bruch{x}{2})\right)*\left(cos(\bruch{x}{2})*cos(\bruch{y}{2})+sin(\bruch{x}{2})*sin(\bruch{y}{2})\right)
[/mm]
[mm] =2*\left(sin(\bruch{x}{2})*cos(\bruch{x}{2})*cos^2(\bruch{y}{2})+sin^2(\bruch{x}{2})*sin(\bruch{y}{2})*cos(\bruch{y}{2})+sin(\bruch{y}{2})*cos^2(\bruch{x}{2})*(cos(\bruch{y}{2})+sin(\bruch{x}{2}*sin^2(\bruch{y}{2})*cos(\bruch{y}{2})\right)
[/mm]
[mm] =2*\left(sin(\bruch{x}{2})*cos(\bruch{x}{2}-sin(\bruch{x}{2})*cos(\bruch{x}{2})*sin^2(\bruch{y}{2})+sin(\bruch{y}{2})*cos(\bruch{y}{2})-sin(\bruch{y}{2})*cos(\bruch{y}{2})*cos^2(\bruch{x}{2})sin(\bruch{y}{2})*cos^2(\bruch{x}{2})*(cos(\bruch{y}{2})+sin(\bruch{x}{2}*sin^2(\bruch{y}{2})*cos(\bruch{y}{2})\right)
[/mm]
[mm] =2*\left(sin(\bruch{x}{2})*cos(\bruch{x}{2})+sin(\bruch{y}{2})cos(\bruch{y}{2})\right)
[/mm]
[mm] =2*sin(\bruch{x}{2})*cos(\bruch{x}{2})+2*sin(\bruch{y}{2})cos(\bruch{y}{2})
[/mm]
[mm] =sin(2*\bruch{x}{2})+sin(2*\bruch{y}{2})
[/mm]
=sin(x)+sin(y)
Naja ist ja eh eine andere Rechenformel und vermutlich hab ich es mir hier auch ein bisschen zu kompliziert gemacht...
Habe eben nochmal deinen Weg durchgerechnet und der scheint ja zu stimmen also geb ich mich jetzt veilleicht einfach damit zu frieden ;)
Danke und besten Gruß,
tedd
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> Ich dachte ich komm durch weiteres umformen jetzt noch
> irgendwie weiter...
> Bei einem anderen Beweis hat es jedenfalls geklappt:
> [mm]sin(x)+sin(y)=2*sin(\bruch{x+y}{2})*cos(\bruch{x-y}{2})[/mm]
>
> [mm]2*sin(\bruch{x+y}{2})*cos(\bruch{x-y}{2})[/mm]
>
> [mm]=2*\left(sin(\bruch{x}{2})*cos(\bruch{y}{2})+sin(\bruch{y}{2}*cos(\bruch{x}{2})\right)*\left(cos(\bruch{x}{2})*cos(\bruch{y}{2})+sin(\bruch{x}{2})*sin(\bruch{y}{2})\right)[/mm]
>
> [mm]=2*\left(sin(\bruch{x}{2})*cos(\bruch{x}{2})*cos^2(\bruch{y}{2})+sin^2(\bruch{x}{2})*sin(\bruch{y}{2})*cos(\bruch{y}{2})+sin(\bruch{y}{2})*cos^2(\bruch{x}{2})*(cos(\bruch{y}{2})+sin(\bruch{x}{2}*sin^2(\bruch{y}{2})*cos(\bruch{y}{2})\right)[/mm]
>
> [mm]=2*\left(sin(\bruch{x}{2})*cos(\bruch{x}{2}-sin(\bruch{x}{2})*cos(\bruch{x}{2})*sin^2(\bruch{y}{2})+sin(\bruch{y}{2})*cos(\bruch{y}{2})-sin(\bruch{y}{2})*cos(\bruch{y}{2})*cos^2(\bruch{x}{2})sin(\bruch{y}{2})*cos^2(\bruch{x}{2})*(cos(\bruch{y}{2})+sin(\bruch{x}{2}*sin^2(\bruch{y}{2})*cos(\bruch{y}{2})\right)[/mm]
>
> [mm]=2*\left(sin(\bruch{x}{2})*cos(\bruch{x}{2})+sin(\bruch{y}{2})cos(\bruch{y}{2})\right)[/mm]
>
> [mm]=2*sin(\bruch{x}{2})*cos(\bruch{x}{2})+2*sin(\bruch{y}{2})cos(\bruch{y}{2})[/mm]
> [mm]=sin(2*\bruch{x}{2})+sin(2*\bruch{y}{2})[/mm]
> =sin(x)+sin(y)
>
> Naja ist ja eh eine andere Rechenformel und vermutlich hab
> ich es mir hier auch ein bisschen zu kompliziert
> gemacht...
Spätestens nach dem dritten Gleichheitszeichen hätte ich mich an Deiner Stelle nach einem einfacheren Weg umgeschaut.
> Habe eben nochmal deinen Weg durchgerechnet und der
> scheint ja zu stimmen also geb ich mich jetzt veilleicht
> einfach damit zu frieden ;)
Es ist für alle vier Fälle, [mm] $\sin(x)\pm\sin(y)$ [/mm] und [mm] $\cos(x)\pm \cos(y)$ [/mm] einfach, wenn Du auf dem Weg gehst, $x$ durch $u+w$ und $y$ durch $u-w$ zu ersetzen und die Additionstheoreme von [mm] $\sin$ [/mm] bzw. [mm] $\cos$ [/mm] anzuwenden, wobei [mm] $u=\frac{x+y}{2}$ [/mm] und [mm] $w=\frac{x-y}{2}$. [/mm] Es geht in allen diesen Fällen gerade so einfach und ruck-zuck, wie beim einen Beispiel das ich vorgerechnet habe.
P.S: Deine Umformung erinnert mich an den alten Trick, eine Aufgabe vom Typ "beweise, dass A=B ist" zu lösen. Man verwende ein neues Blatt, schreibe in die linke obere Ecke $A=$ und in die untere rechte Ecke $=B$. Dann beginnt man gleichzeitig von oben und unten äquivalente Umformungen zu machen, bis man etwa in der Mitte des Blattes zusammenstösst. Dort macht man wieder ein Gleichheitszeichen. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 So 03.08.2008 | | Autor: | tedd |
Hehe, das mit dem alten Trick kommt ungefähr so hin ;)
Danke für deine Geduld und Hilfe Somebody.
Besten Gruß,
tedd
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe 1 | $ cos(x)+cos(y)=2\cdot{}cos(\bruch{x+y}{2})\cdot{}cos(\bruch{x-y}{2}) $
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| Aufgabe 2 | | $ \begin{array}{lcl} \cos(x)+\cos(y) &=& \cos(v+w)+\cos(v-w)\\ &=& \big[\red{\cos(v)\cos(w)}\blue{-\sin(v)\sin(w)}\big]+\big[\red{\cos(v)\cos(w)}\blue{+\sin(v)\sin(w)\big]\\ &=& \red{2\cos(v)\cos(w)}+\blue{0}\\ &=& 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} \end{array} $ |
hi
ich versteh irgendwie ned ganz wieso das nen beweis sein soll
damit der beweis erbracht ist muss doch zum schluss
cos(x) + cos(y) =cos(x) +cos(y) stehen damit man erkenn das beide seiten gleich sind, nach dem ersten substituieren steht ja das da:
2 * cos(v) * cos(w) wie komm ich jetzt von dem auf cos(x) + cos(y) ??
mfg stargate
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Falls Dir die Beschäftigung mit Mathematik noch Zeit lässt, lern unbedingt auch noch mehr Deutsch.
Zum Schluss muss nicht die Identität stehen, die Du forderst, sondern die Gleichheit, die in der Aufgabe gegeben war.
Hier wird so substituiert: x=v+w, y=v-w
Diese Gleichungen kannst Du umstellen nach v=..., w=...
So kommst Du auf den letzten Schritt, der das zu zeigende Ergebnis beinhalten.
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hi
hä, ich verstehe es immer noch nicht, wird dann 2mal substituiert ??
beim ersten substituieren habe ich ja folgendes:
cos(x) + cos(y) = 2 * cos(v) * cos(w)
das 2* cos(v) *cos(w) kann ich nochmal unformen daraus ergibt sich dann:
cos(x) + cos(y) = cos(v+w) + cos(v-w)
und dann ??
mfg stargate
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...und dann werden die trigonometrischen Additionstheoreme angewandt, und ganz zum Schluss wird rücksubstituiert, weil man ja u und v wieder loswerden will. Sie sind nur Rechenhilfen zwischendurch.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:41 Fr 21.11.2008 | | Autor: | stargate2k |
hi
ja ich weiß wie er auf die 2*cos... gekommen ist...
aber ich will das auf beiden seiten co(x) + cos(y)= cos(x) +cos(y) steht
mfg stargate
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Wozu?
Verstehst Du nicht, was da zu beweisen ist?
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hi
ja ich muss $ [mm] 2\cdot{}cos(\bruch{x+y}{2})\cdot{}cos(\bruch{x-y}{2}) [/mm] $ so umformen das ich auf cos(x)+cos(y) komme, so haben wir das zumindest immer gemacht...
mfg stargate
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Das geht natürlich auch. Dann zeigst Du
[mm] 2\cdot{}cos(\bruch{x+y}{2})\cdot{}cos(\bruch{x-y}{2})=\cos{x}+\cos{y}
[/mm]
Hier wird der umgekehrte Weg gegangen und gezeigt
[mm] \cos{x}+\cos{y}=2\cdot{}cos(\bruch{x+y}{2})\cdot{}cos(\bruch{x-y}{2})
[/mm]
Ist das denn ein Unterschied?
Wenn Du unbedingt die andere Reihenfolge willst, dann brauchst Du nur den Rechenweg des Beweises in umgekehrter Reihenfolge abzuschreiben.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hi
hm du verstehst mich nicht ganz...
tedd hat ja folgendes als lösung geschrieben
$ \begin{array}{lcl} \cos(x)+\cos(y) &=& \cos(v+w)+\cos(v-w)\\ &=& \big[\red{\cos(v)\cos(w)}\blue{-\sin(v)\sin(w)}\big]+\big[\red{\cos(v)\cos(w)}\blue{+\sin(v)\sin(w)\big]\\ &=& \red{2\cos(v)\cos(w)}+\blue{0}\\ &=& 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} \end{array} $
aber wie kommt er darauf dass cos(x) + cos(y) = cos(v+w)+cos(v-w) ist?
er hat ja nur $2\cdot{}cos(\bruch{x+y}{2})\cdot{}cos(\bruch{x-y}{2}) $
umgeformt und kommt dann wieder auf $2\cdot{}cos(\bruch{x+y}{2})\cdot{}cos(\bruch{x-y}{2}) $
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Er kommt nicht darauf, er setzt es. Durch diese Substitution wird die geschickte Umformung doch erst möglich. Natürlich hätte er auch ohne Substitution arbeiten können, aber das ist viel Schreibarbeit, wenn man statt v immer [mm] \bruch{x+y}{2} [/mm] und statt w immer [mm] \bruch{x-y}{2} [/mm] schreibt.
Hätte Dir das denn weitergeholfen?
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hi
ich glaub das hat keinen sinn, ich weiß nicht wie ich mein problem am besten beschreiben soll..
also das mit der substitution ist nicht dsa problem
die ausgangsformel ist ja:
$ [mm] cos(x)+cos(y)=2\cdot{}cos(\bruch{x+y}{2})\cdot{}cos(\bruch{x-y}{2}) [/mm] $
und das cos(x) +cos(y) von der obigen ausgangsformel bleibt jetzt mal links stehen
cos(x)+cos(y) = .....
so und auf der rechten seite nach dem = steht ja [mm] $2\cdot{}cos(\bruch{x+y}{2})\cdot{}cos(\bruch{x-y}{2}) [/mm] $
so und die linke seite bleibt erstmal stehen und ich will die rechte jetzt soweit wie möglich umformen damit ich auf cos(x) +cos(y) komme
so dass ich am ende der ganzen rechnung cos(x)+cos(y)=cos(x)+cos(y) stehen habe somit ist der beweis dann erbracht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:52 Fr 21.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du willst die linke Seite stehen lassen und die rechte umformen bis sie die linke ergibt.
Hier wurde es aber anders gemacht: man laesst die rechte Seite stehen (oder schreibt sie gar nicht erst hin) und formt die linke Seite um. dazu schreibt man statt
cos(x)= [mm] cos(\bruch{x+y}{2}+\bruch{x-y}{2}) [/mm] das ist nur x ziemlich umstaendlich hingeschrieben.
ebenso statt [mm] cos(y)=cos(\bruch{x+y}{2}-\bruch{x-y}{2})
[/mm]
wenn man lange Ausdruecke liebt schreibt man es so, hier wurde es abgekuerzt mit [mm] u=\bruch{x+y}{2} [/mm] und [mm] v=\bruch{x-y}{2}
[/mm]
musst du aber nicht!
Dann steht da:
[mm] cosx+cosy=cos(\bruch{x+y}{2}+\bruch{x-y}{2})+cos(\bruch{x+y}{2}-\bruch{x-y}{2})
[/mm]
also nur umgeschrieben.
jetzt wendet man fuer die 2 Innenteile des cos die bekannten Additionstheoreme an und kommt bei deinem rechten Ergebnis an.
Wenn man das hat, kann man das auch rueckwaerts machen, wie du das willst und von der letzten Gleichung rueckwaerts bis cosx+cosy kommen.
Und bitte kein hä, wir gehn hier nett miteinander um.
Gruss leduart
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hi
was ich nicht verstehe ist wie du auf $ [mm] cos(\bruch{x+y}{2}+\bruch{x-y}{2}) [/mm] $ und $ [mm] cos(y)=cos(\bruch{x+y}{2}-\bruch{x-y}{2}) [/mm] $ kommst.
ich hab doch auf der linken seite nur cos(x) + cos(y) stehen..
woher nimmst du dann die werte für x un y ?
wenn du mir das ausführlich hinschreiben könntest...
ich glaub ich habe eine andere lösung gefunden aber die obige würde ich auch noch gerne verstehen...
also ich habe es mal folgendermaßen gemacht:
ich lasse die linke seite steht also cos(x)+cos(y) und löse die rechte auf...
ich substituiere : v= (x+y)/2 und w = (x-y)/2 braucht man hier zwar nicht unbedingt aber es ist übersichtlicher...
so, die linke seite bleibt also stehen und die rechte formatiere ich zu
2* cos(v) * cos(w) um dies ergibt dann wiederum cos(v+w) + cos(v-w)
wenn ich jetzt wieder für v und w die werte einsetze dann kürzt sich alles so raus dass nur noch cos(x)+cos(y) steht..
somit steht dann links cos(x) +cos(y) und rechts auch cos(x)+cos(y) womit es bewiesen wäre...
mfg stargate
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Fr 21.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie ich drauf komme?
Ich hab das Ziel vor Augen, naemlich [mm] \bruch{x+y}{2} [/mm] und [mm] \bruch{x-y}{2}
[/mm]
in der Ergebnisformel. Und ich weiss, dass ich Formeln fuer cos(u+v) hab.
also mach ich aus meinem x ein geeignetes u und v.
und dann gilt eben [mm] x=\bruch{x+y}{2}+\bruch{x-y}{2}
[/mm]
und dann hab ich ein a und b oder u und v und kann mein Additionstheorem anwenden.
Wenn im Ergebnis ein cos(x+y) und ein cosy vorkaeme wuerd ich halt x=(x+y) -y schreiben.
Zugegeben, den "Trick" x geeignet als Summe zu schreiben muss man "sehen" Manche Leute tun das, andere nicht. Ich weiss nicht mehr, ob ich da je selber drauf gekommen bin, oder es auch irgendwann zum ersten mal gesehen hab!
Aber wenn man einmal so einen "Trick" gesehen hat, kann man ihn an anderen Stellen wieder verwenden. Und drum solltest du ihn begreifen!
Ein anderer "Trick" ist eine geschickte 0 addieren:
dann kannst du deine Formel von hinten nach vorn umformen.
Fang mit
[mm] 2*cos(\bruch{x+y}{2})*cos(\bruch{x-y}{2}) [/mm] an.
addiere [mm] 0=sin(\bruch{x+y}{2})*sin(\bruch{x-y}{2})-sin(\bruch{x+y}{2})*sin(\bruch{x-y}{2})
[/mm]
Man nennt den Trick "Addieren einer fetten 0"
dann hast du :
[mm] 2*cos(\bruch{x+y}{2})*cos(\bruch{x-y}{2}) [/mm] =[ [mm] cos(\bruch{x+y}{2})*cos(\bruch{x-y}{2})+sin(\bruch{x+y}{2})*sin(\bruch{x-y}{2}) [/mm] ] + [ [mm] cos(\bruch{x+y}{2})*cos(\bruch{x-y}{2}) -sin(\bruch{x+y}{2})*sin(\bruch{x-y}{2}) [/mm] ]
(auch hier waer es uebersichtlicher statt der Brueche u und v zu verwenden)
jetzt kannst du das Additionstheorem anwenden (rueckwaerts) und landest bei cosx+cosy
Gruss leduart
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