Beweis Z-Rg=S-Rg über Dualraum < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:55 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Es sei f: [mm] V\to [/mm] W eine lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen K-Vektorräumen mit Basen X von V bzw. Y von W. Ist dann [mm] X^\* [/mm] (bzw. [mm] Y^\*) [/mm] die duale Basis zu x (bzw. Y), und bezeichnet [mm] f^\*:W^\*\to V^\* [/mm] die zu f duale lineare Abbildung, so gilt
[mm] A_{f^\*,Y^\*,X^\*} [/mm] = [mm] (A_{f,X,Y})^t. [/mm] |
Ich habe hier ein zwei kleine Hänger beim Verständniss des Beweises:
Beweis:
Es sei
[mm] X=(x_1, [/mm] ..., [mm] x_n), Y=(y_1, [/mm] ..., [mm] y_m)
[/mm]
[mm] X^\*=(x_1^\*, [/mm] ..., [mm] x_n^\*), Y^\*=(y_1^\*, [/mm] ..., [mm] y_m^\*)
[/mm]
wobei man also [mm] x_j^\*(x_k)=\delta_{jk} [/mm] und [mm] y_i^\*(y_l)=\delta_{il} [/mm] hat. Insbesondere wird dann für [mm] \varphi\in V^\* [/mm] die eindeutig bestimmte Linearkombination der Basis [mm] X^\* [/mm] durch [mm] \varphi=\sum_{j=1}^n{\varphi(x_j)x_j^\*} [/mm] gegeben.
Bis hierhin ist alles klar
Somit lässt sich die zu [mm] f^\* [/mm] gehörige Matrix wie folgt beschreiben:
[mm] A_{f^\*, Y^\*, X^\*}=(f^\*(y_1^\*)_{X^\*}, [/mm] ..., [mm] f^\*(y_m^\*)_{X^\*})=(f^\*(y_i^\*)(x_j))_{j=1,...,n; i=1,...,m}
[/mm]
Hier jetzt das erste Probelem: Wo kommt plötzlich das [mm] (x_j) [/mm] am Ende her?
Ist nun die Matrix zu f gegeben durch
[mm] A_{f,X,Y}=(\alpha_{ij})_{i=1,...,m; j=1,...,n} [/mm] d.h. durch [mm] f(x_j)=\sum_{k=1}^m{\alpha_{kj}y_k},
[/mm]
dann erhält man für i=1, ..., m
[mm] f^\*(y_i^\*)=\sum_{j=1}^n{f^\*(y_i^\*)(x_j)*x_j^\*}
[/mm]
Hier taucht dann wieder das [mm] (x_j) [/mm] von oben auf
[mm] =\sum_{j=1}^n{(y_i^\*\circ f)(x_j)*x_j^\*} [/mm] Hier wird dann einfach die Def. von [mm] f^\* [/mm] eingesetzt
[mm] =\sum_{j=1}^n{y_i^\*(f(x_i))*x_j^\*}
[/mm]
[mm] =\sum_{j=1}^n{y_i^\*(\sum_{k_1}^m{\alpha_{kj}y_k}*x_j^\*} [/mm] Wieder einfach die Darstellung von oben eingesetzt
[mm] =\sum_{j=1}^n{\alpha_{ij}*x_j^\*}, [/mm] Wie komme ich auf diese Form?
und dies bedeutet
[mm] A_{f^\*,Y^\*,X^\*}=(\alpha_{ij})_{j=1,...,n; j=1,...,m}=(A_{f,X,Y})^t
[/mm]
wie behauptet.
Damit lässt sich dann mit der Tatsache, dass die Abbildungen f und [mm] f^\* [/mm] gleichen Rang haben folgern:
[mm] rg_S A_{f,X,Y}=rg [/mm] f = rg [mm] f^\* [/mm] = [mm] rg_S A_{f^\*,Y^\*,X^\*}=rg_S(A_{f,X,Y})^t=rg_ZA_{f,X,Y}.
[/mm]
Also, dass Zeilen und Spaltenrang einer Matrix immer gleich sind.
Wenn mir hier jemand erklären könnte was an den beschriebenen Stellen passiert wäre ich sehr dankbar.
Danke und Gruß
Zerwas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 07.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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