Beweis (X,Y) absolut stetig < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Mo 05.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Es sei X standardnormalverteilt und Y:=2X-3 normalverteilt mit Erwartungswert -3 und Varianz 4.
Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage:
Die gemeinsame Verteilung von X und Y besitzt eine Wahrscheinlichkeitsdichte, d.h. der Vektor (X,Y) ist absolut stetig verteilt. |
Hallo Leute,
ich tu mich extrem schwer mit der obigen Aufgabe.
Ich würde mal vermuten, dass auch die gemeinsame Verteilung wiederum absolut stetig verteilt ist, da eine diskrete Verteilung irgendwie schwer vorstellbar ist.
Wär echt richtig klasse, wenn jeman an Tipp für mich hätte wie ich das beweisen kann.
Herzlichen Dank schon mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 Di 06.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Niemand an kurzen Denkanstoß??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:59 Di 06.07.2010 | | Autor: | dazivo |
Hallo
Schreib mal einfach auf, was gegeben ist:
$P[X [mm] \leq [/mm] x, Y [mm] \leq [/mm] y] = P[X [mm] \leq [/mm] x, 2X-3 [mm] \leq [/mm] y] = P[X [mm] \leq [/mm] x, X [mm] \leq \frac{y+3}{2}] [/mm] = P[X [mm] \leq min(x,\frac{y+3}{2})] [/mm] = [mm] \cdots$
[/mm]
Hätte der Zufallvektor $(X,Y)$ eine gemeinsame Dichte, nennen wir sie mal [mm] $\phi$, [/mm] so würde blablabla (Definition einer gemeinsamen Dichte) gleich dem Obigen sein. Das sollte helfen.
gruss dazivo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:00 Mi 07.07.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei X standardnormalverteilt und Y:=2X-3 normalverteilt
> mit Erwartungswert -3 und Varianz 4.
>
> Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage:
> Die gemeinsame Verteilung von X und Y besitzt eine
> Wahrscheinlichkeitsdichte, d.h. der Vektor (X,Y) ist
> absolut stetig verteilt.
>
> ich tu mich extrem schwer mit der obigen Aufgabe.
> Ich würde mal vermuten, dass auch die gemeinsame
> Verteilung wiederum absolut stetig verteilt ist, da eine
> diskrete Verteilung irgendwie schwer vorstellbar ist.
Nur weil es nicht absolut stetig ist, muss es noch lange nicht diskret sein!
Rechne doch mal die Verteilungsfunktion $F(x, y) := P(X [mm] \le [/mm] x, Y [mm] \le [/mm] y)$ von $X$ und $Y$ aus. Ist diese absolut stetig?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:07 Mi 07.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Laut dem Beitrag von dazivo gilt:
[mm] P[X\le{x},Y\le{y}]=P[X\le{x},2X-3\le{y}]=P[X\le{x},X\le{}\frac{y+3}{2}]=P[X\le{}min(x,\frac{y+3}{2})]=\Phi\left(min(x,\frac{y+3}{2})\right)
[/mm]
Mir ist noch nicht ganz klar, warum die gemeinsame Verteilung damit bereits nicht absolut stetig sein kann?!
Kann das jemand nochmal erklären? Danke schon mal.
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 01:32 Mi 07.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin
> Laut dem Beitrag von dazivo gilt:
>
> [mm]P[X\le{x},Y\le{y}]=P[X\le{x},2X-3\le{y}]=P[X\le{x},X\le{}\frac{y+3}{2}]=P[X\le{}min(x,\frac{y+3}{2})]=\Phi\left(min(x,\frac{y+3}{2})\right)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Mir ist noch nicht ganz klar, warum die gemeinsame
> Verteilung damit bereits nicht absolut stetig sein kann?!
> Kann das jemand nochmal erklären? Danke schon mal.
Na, nur weil du die Funktion explizit hinschreiben kannst, heisst das noch lange nicht, dass sie nicht absolut stetig sein kann. Ausserhalb der Geraden $x = [mm] \frac{y + 3}{2}$ [/mm] ist die Funktion sogar differenzierbar, also insbesondere absolut stetig.
Um zu zeigen, dass die gemeinsame Verteilungsfunktion eine Dichte besitzt, kannst du doch eine solche hinschreiben und dann zeigen, dass dies tatsaechlich eine Dichte ist, also dass gilt $F(x, y) = [mm] \int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y [/mm] f(a, b) db [mm] \; [/mm] da$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:53 Mi 07.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay also nochmal ganz langsam zum Mitschreiben :).
Wie genau mach ich das jetz?! Ich mein woher nehm ich die Dichte, von der ich dann zeigen kann, dass sie auch wirklich eine ist?
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(Antwort) noch nicht fertig | | Datum: | 01:56 Mi 07.07.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Okay also nochmal ganz langsam zum Mitschreiben :).
> Wie genau mach ich das jetz?! Ich mein woher nehm ich die
> Dichte, von der ich dann zeigen kann, dass sie auch
> wirklich eine ist?
Na, fuer $x [mm] \neq \frac{y + 3}{2}$ [/mm] kannst du einfach ableiten. (Mach eine Fallunterscheidung ob $x$ kleiner oder groesser als [mm] $\frac{y + 3}{2}$ [/mm] ist.)
Und wie du es fuer $x = [mm] \frac{y + 3}{2}$ [/mm] setzt ist egal, da dies eine Nullmenge im [mm] $\IR^2$ [/mm] ist.
LG Felix
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> Es sei X standardnormalverteilt und Y:=2X-3 normalverteilt
> mit Erwartungswert -3 und Varianz 4.
>
> Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage:
> Die gemeinsame Verteilung von X und Y besitzt eine
> Wahrscheinlichkeitsdichte, d.h. der Vektor (X,Y) ist
> absolut stetig verteilt.
> Hallo Leute,
> ich tu mich extrem schwer mit der obigen Aufgabe.
> Ich würde mal vermuten, dass auch die gemeinsame
> Verteilung wiederum absolut stetig verteilt ist, da eine
> diskrete Verteilung irgendwie schwer vorstellbar ist.
>
> Wär echt richtig klasse, wenn jeman an Tipp für mich
> hätte wie ich das beweisen kann.
> Herzlichen Dank schon mal.
Hallo kegel53,
falls vorausgesetzt werden könnte, dass man es mit den
unabhängigen Normalverteilungen X: N(0,1) und Y: N(-3,4)
zu tun hat, wäre die Antwort natürlich trivial. Die Dichte-
funktion für die kombinierte Verteilung wäre das Produkt
aus den Dichtefunktionen von X und Y :
$\ [mm] f_{(X,Y)}\ [/mm] =\ [mm] f_X\,*\,f_Y$
[/mm]
Durch diese Gleichung wird eine glatte Fläche über der
X-Y-Ebene beschrieben, mit z-Werten zwischen 0 und 1.
Jetzt sind aber X und Y keineswegs unabhängig, sondern
wegen Y=2*X-3 strikt miteinander gekoppelt. Alle resul-
tierenden Punkte in der X-Y-Ebene liegen also auf der
Geraden g mit der Gleichung Y=2*X-3. Der Dichte-"Graph"
über der X-Y-Ebene ist also keine stetige Fläche, sondern
so etwas wie eine in einer vertikal zur X-Y-Ebene liegende
Kurve. Außerhalb der Geraden g ist die Dichte überall
gleich Null, längs der Geraden hat sie aber (als Dichte
über [mm] \IR^2) [/mm] durchwegs unendliche Werte.
Insgesamt kann die Dichte also nicht als stetige Funktion
(über [mm] \IR^2) [/mm] dargestellt werden.
LG Al-Chw.
Frage an die Spezialisten:
Ist meine obige Begründung brauchbar ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:23 Mi 07.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Al,
> Jetzt sind aber X und Y keineswegs unabhängig, sondern
> wegen Y=2*X-3 strikt miteinander gekoppelt. Alle resul-
> tierenden Punkte in der X-Y-Ebene liegen also auf der
> Geraden g mit der Gleichung Y=2*X-3. Der Dichte-"Graph"
> über der X-Y-Ebene ist also keine stetige Fläche,
> sondern
> so etwas wie eine in einer vertikal zur X-Y-Ebene
> liegende
> Kurve.
du hast hier einen Denkfehler: die Dichte ist nicht die "Ableitung" von $X$ bzw. $Y$ selber; schliesslich sind $X$ und $Y$ keine Funktionen von [mm] $\IR^2$ [/mm] nach [mm] $\IR$, [/mm] sondern die "Ableitung" von der Verteilungsfunktion $F(x, y) := P(X [mm] \le [/mm] x, Y [mm] \le [/mm] y) = P(X [mm] \le \min(x, \tfrac{y +3}{2})) [/mm] = [mm] \Phi(\min(x, \tfrac{y + 3}{2})$ [/mm] (nach dazivos Rechnung).
> Außerhalb der Geraden g ist die Dichte überall
> gleich Null, längs der Geraden hat sie aber (als Dichte
> über [mm]\IR^2)[/mm] durchwegs unendliche Werte.
Das ist sie nicht: ist $x < [mm] \frac{y + 3}{2}$, [/mm] oder $y < 2 x - 3$, so ist die Dichte ungleich 0. Das sind ganze Flaechen im [mm] $\IR^2$.
[/mm]
> Insgesamt kann die Dichte also nicht als stetige Funktion
> (über [mm]\IR^2)[/mm] dargestellt werden.
Die Dichte muss auch nicht stetig sein. Die Gleichverteilung hat auch keine stetige Dichte, aber sie hat eine Dichte, da die Verteilungsfunktion absolut stetig ist.
LG Felix
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Guten Tag Felix,
> Moin Al,
>
> > Jetzt sind aber X und Y keineswegs unabhängig, sondern
> > wegen Y=2*X-3 strikt miteinander gekoppelt. Alle
> resul-
> > tierenden Punkte in der X-Y-Ebene liegen also auf der
> > Geraden g mit der Gleichung Y=2*X-3. Der
> Dichte-"Graph"
> > über der X-Y-Ebene ist also keine stetige Fläche,
> > sondern
> > so etwas wie eine in einer vertikal zur X-Y-Ebene
> > liegende
> > Kurve. dies war sicher wenigstens ungeschickt ausgedrückt ... (Al)
>
> du hast hier einen Denkfehler: die Dichte ist nicht die
> "Ableitung" von [mm]X[/mm] bzw. [mm]Y[/mm] selber; schliesslich sind [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm]
> keine Funktionen von [mm]\IR^2[/mm] nach [mm]\IR[/mm], sondern die
> "Ableitung" von der Verteilungsfunktion [mm]F(x, y) := P(X \le x, Y \le y) = P(X \le \min(x, \tfrac{y +3}{2})) = \Phi(\min(x, \tfrac{y + 3}{2})[/mm]
> (nach dazivos Rechnung).
Ich glaube, dass wir uns da irgendwie missverstehen.
Meine Beschreibung des "Dichte-Graphs" ist wohl nicht
so recht gelungen. Es ist ja so, dass (wegen der linearen
Abhängigkeit Y=2*X-3) die Dichte an allen Stellen (x,y),
wo die Gleichung nicht erfüllt ist, verschwindet. Die gesamte
Wahrscheinlichkeit 1 ist also nur entlang der Geraden g
verteilt. Da aber g in [mm] \IR^2 [/mm] eine Menge vom Maß Null ist,
müsste eine Dichtefunktion f(x,y) entlang dieser Geraden
"unendliche" Werte analog einer Dirac-Funktion haben.
Wenn wir also entlang einer Kurve fahren und dabei die
Gerade g überqueren, macht die Verteilungsfunktion
F(x,y) einen Sprung.
Daraus denke ich entnehmen zu können, dass einem
Punkt (x,y) , welcher auf g liegt, kein (endlicher) Dichtewert
für eine auf [mm] \IR^2 [/mm] definierte Dichtefunktion f(x,y)
zugeordnet werden kann.
>
> > Außerhalb der Geraden g ist die Dichte überall
> > gleich Null, längs der Geraden hat sie aber (als
> Dichte
> > über [mm]\IR^2)[/mm] durchwegs unendliche Werte.
>
> Das ist sie nicht: ist [mm]x < \frac{y + 3}{2}[/mm], oder [mm]y < 2 x - 3[/mm],
> so ist die Dichte ungleich 0. Das sind ganze Flaechen im
> [mm]\IR^2[/mm].
>
> > Insgesamt kann die Dichte also nicht als stetige Funktion
> > (über [mm]\IR^2)[/mm] dargestellt werden.
>
> Die Dichte muss auch nicht stetig sein. Die
> Gleichverteilung hat auch keine stetige Dichte, aber sie
> hat eine Dichte, da die Verteilungsfunktion absolut stetig
> ist.
>
> LG Felix
Ich meinte eben nicht bloß "stetig", sondern dass die Dichte
überhaupt nicht als "gewöhnliche" (nicht Diracsche) Funktion
dargestellt werden kann.
(... oder bin ich jetzt komplett auf dem Holzweg ?
zu meiner Entschuldigung: ich habe mich noch kaum einmal
mit diesem Themenkreis befasst ...)
lieben Gruß von Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 Mi 07.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Al,
> > > Jetzt sind aber X und Y keineswegs unabhängig, sondern
> > > wegen Y=2*X-3 strikt miteinander gekoppelt. Alle
> > resul-
> > > tierenden Punkte in der X-Y-Ebene liegen also auf
> der
> > > Geraden g mit der Gleichung Y=2*X-3. Der
> > Dichte-"Graph"
> > > über der X-Y-Ebene ist also keine stetige Fläche,
> > > sondern
> > > so etwas wie eine in einer vertikal zur X-Y-Ebene
> > > liegende
> > > Kurve. dies war sicher wenigstens ungeschickt
> ausgedrückt ... (Al)
> >
> > du hast hier einen Denkfehler: die Dichte ist nicht die
> > "Ableitung" von [mm]X[/mm] bzw. [mm]Y[/mm] selber; schliesslich sind [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm]
> > keine Funktionen von [mm]\IR^2[/mm] nach [mm]\IR[/mm], sondern die
> > "Ableitung" von der Verteilungsfunktion [mm]F(x, y) := P(X \le x, Y \le y) = P(X \le \min(x, \tfrac{y +3}{2})) = \Phi(\min(x, \tfrac{y + 3}{2})[/mm]
> > (nach dazivos Rechnung).
>
> Ich glaube, dass wir uns da irgendwie missverstehen.
> Meine Beschreibung des "Dichte-Graphs" ist wohl nicht
> so recht gelungen. Es ist ja so, dass (wegen der linearen
> Abhängigkeit Y=2*X-3) die Dichte an allen Stellen (x,y),
> wo die Gleichung nicht erfüllt ist, verschwindet.
Nicht umbedingt!
Ist $x < [mm] \frac{y + 3}{2}$ [/mm] und wackelt man an $x$ rum, so aendert sich ja auch $F(x, y) = P(X [mm] \le [/mm] x, Y [mm] \le [/mm] y) = P(X [mm] \le \min(x, \tfrac{y+3}{2}))$. [/mm] Also muss die Dichte da [mm] $\neq [/mm] 0$ sein. Und das ist je nach Wahl von $x$ und $y$ weit weg von der Gerade!
> Die gesamte
> Wahrscheinlichkeit 1 ist also nur entlang der Geraden g
> verteilt.
Dem widerspreche ich 
> > > Insgesamt kann die Dichte also nicht als stetige Funktion
> > > (über [mm]\IR^2)[/mm] dargestellt werden.
> >
> > Die Dichte muss auch nicht stetig sein. Die
> > Gleichverteilung hat auch keine stetige Dichte, aber sie
> > hat eine Dichte, da die Verteilungsfunktion absolut stetig
> > ist.
> >
> > LG Felix
>
>
> Ich meinte eben nicht bloß "stetig", sondern dass die
> Dichte
> überhaupt nicht als "gewöhnliche" (nicht Diracsche)
> Funktion
> dargestellt werden kann.
Ich denke, dass sehr wohl eine Dichte existiert. (Nicht stetig, jedoch integrierbar.)
> (... oder bin ich jetzt komplett auf dem Holzweg ?
Ich denke schon :)
> zu meiner Entschuldigung: ich habe mich noch kaum einmal
> mit diesem Themenkreis befasst ...)
Ich bin da auch kein Experte. Aber ich denke, hier sollte es die Dichte schon geben. Die Dichte ist ja sozusagen die "Ableitung" der Verteilungsfunktion, und die betrachtet in einem Punkt $(x, y)$ die Wahrscheinlichkeit, dass $X [mm] \le [/mm] x$ und $Y [mm] \le [/mm] y$ ist -- und wenn nicht gerade $x = [mm] \tfrac{y+3}{2}$ [/mm] ist, dann ist die Verteilungsfunktion total differenzierbar und genau eine der partiellen Ableitungen ist [mm] $\neq [/mm] 0$.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Mi 07.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Moin Al,
>
> > > > Jetzt sind aber X und Y keineswegs unabhängig, sondern
> > > > wegen Y=2*X-3 strikt miteinander gekoppelt. Alle
> > > resul-
> > > > tierenden Punkte in der X-Y-Ebene liegen also auf
> > der
> > > > Geraden g mit der Gleichung Y=2*X-3. Der
> > > Dichte-"Graph"
> > > > über der X-Y-Ebene ist also keine stetige
> Fläche,
> > > > sondern
> > > > so etwas wie eine in einer vertikal zur X-Y-Ebene
> > > > liegende
> > > > Kurve. dies war sicher wenigstens ungeschickt
> > ausgedrückt ... (Al)
> > >
> > > du hast hier einen Denkfehler: die Dichte ist nicht die
> > > "Ableitung" von [mm]X[/mm] bzw. [mm]Y[/mm] selber; schliesslich sind [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm]
> > > keine Funktionen von [mm]\IR^2[/mm] nach [mm]\IR[/mm], sondern die
> > > "Ableitung" von der Verteilungsfunktion [mm]F(x, y) := P(X \le x, Y \le y) = P(X \le \min(x, \tfrac{y +3}{2})) = \Phi(\min(x, \tfrac{y + 3}{2})[/mm]
> > > (nach dazivos Rechnung).
> >
> > Ich glaube, dass wir uns da irgendwie missverstehen.
> > Meine Beschreibung des "Dichte-Graphs" ist wohl nicht
> > so recht gelungen. Es ist ja so, dass (wegen der
> linearen
> > Abhängigkeit Y=2*X-3) die Dichte an allen Stellen
> (x,y),
> > wo die Gleichung nicht erfüllt ist, verschwindet.
>
> Nicht umbedingt!
>
> Ist [mm]x < \frac{y + 3}{2}[/mm] und wackelt man an [mm]x[/mm] rum, so
> aendert sich ja auch [mm]F(x, y) = P(X \le x, Y \le y) = P(X \le \min(x, \tfrac{y+3}{2}))[/mm].
> Also muss die Dichte da [mm]\neq 0[/mm] sein. Und das ist je nach
> Wahl von [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] weit weg von der Gerade!
>
> > Die gesamte
> > Wahrscheinlichkeit 1 ist also nur entlang der Geraden
> g
> > verteilt.
>
> Dem widerspreche ich
>
> > > > Insgesamt kann die Dichte also nicht als stetige Funktion
> > > > (über [mm]\IR^2)[/mm] dargestellt werden.
> > >
> > > Die Dichte muss auch nicht stetig sein. Die
> > > Gleichverteilung hat auch keine stetige Dichte, aber sie
> > > hat eine Dichte, da die Verteilungsfunktion absolut stetig
> > > ist.
> > >
> > > LG Felix
> >
> >
> > Ich meinte eben nicht bloß "stetig", sondern dass die
> > Dichte
> > überhaupt nicht als "gewöhnliche" (nicht Diracsche)
> > Funktion
> > dargestellt werden kann.
>
> Ich denke, dass sehr wohl eine Dichte existiert. (Nicht
> stetig, jedoch integrierbar.)
>
> > (... oder bin ich jetzt komplett auf dem Holzweg ?
>
> Ich denke schon :)
>
> > zu meiner Entschuldigung: ich habe mich noch kaum einmal
> > mit diesem Themenkreis befasst ...)
>
> Ich bin da auch kein Experte. Aber ich denke, hier sollte
> es die Dichte schon geben. Die Dichte ist ja sozusagen die
> "Ableitung" der Verteilungsfunktion, und die betrachtet in
> einem Punkt [mm](x, y)[/mm] die Wahrscheinlichkeit, dass [mm]X \le x[/mm] und
> [mm]Y \le y[/mm] ist -- und wenn nicht gerade [mm]x = \tfrac{y+3}{2}[/mm]
> ist, dann ist die Verteilungsfunktion total differenzierbar
> und genau eine der partiellen Ableitungen ist [mm]\neq 0[/mm].
>
> LG Felix
>
Es ist [mm] F_{(X,Y)}(s,t)=F_X(\min(s,t-a)/b)) [/mm] (wenn man Y=aX+b mit [mm] a\not=0 [/mm] betrachtet).
Wenn man ein Quadrat B betrachtet, welches nicht die Gerade schneidet, ist die Wahrscheinlichkeit, dass Werte aus dem Rechteck realisiert werden, nur abhängig von einer der beiden Kantenlängen. Das Lebesgue-Maß hängt aber von beiden ab.
Was ich meine ist, dass man für des W-Maß [mm]F_X(s+h)-F_X(s)[/mm] (wenn das Rechteck unter der Geraden zu s=(t-a)/b) liegt) erhält, aber das Lebesgue-Maß [mm] h^2 [/mm] ist. I.A. - wenn man die Radon-Nikodym-Ableitung nun heuristisch als Quotient interpretiert - kann man nicht erwarten, dass für [mm] h\to0 [/mm] bei [mm] (F_X(s+h)-F_X(s))/h^2 [/mm] etwas Sinnvolles herauskommt, oder?
Und müßte nicht i.A. wenn X eine ZV in den [mm] \IR^m [/mm] mit Dichte, T eine Abbildung vom [mm] \IR^n [/mm] in den [mm] \IR^k [/mm] ist und [mm] U_\epsilon(y) [/mm] ein [mm] \epsilon-Ball [/mm] aus dem [mm] \IR^k [/mm] um y herum ist, mit [mm] \epsilon\to0 [/mm]
[mm] \frac{\integral 1_{T^{-1}(U_\epsilon(y))}f_Xd\lambda^n}{\lambda^k(U_\epsilon(y))}\to f_{T\circ X}(y)
[/mm]
gelten, wenn es eine Dichte für [mm] Y=T\circ [/mm] X geben soll? Die "Ordnung" der Potenzen, in der [mm] \epsilon [/mm] im Zähler und Nenner auftritt wird das wohl entscheiden. Bei einer Abbilgung T in einen höherdimensionelan Raum wird man Schwierigkeiten bekommen, denn das Volumen eines [mm] \epsilon-Balls [/mm] im [mm] \IR^k [/mm] enthält [mm] \epsilon^k. [/mm] Es ist nun schwer vorstellbar, wie das mit der Dichte von X gewichtete Volumen von [mm] T^{-1}(U_\epsilon(y)) [/mm] dieselbe Potenz von [mm] \epsilon [/mm] enthalten soll.
Verstehst Du was ich meine? Oder hab ich einen Denkfehler?
LG
gfm
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Mi 07.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin zusammen!
Es tut mir leid, da habe ich mich gestern voellig verrannt. Es geht tatsaechlich nicht.
Al hat Recht, die Dichte muesste sich auf der Geraden konzentrieren.
Sorry!!!
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:54 Do 08.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Moin zusammen!
>
> Es tut mir leid, da habe ich mich gestern voellig verrannt.
> Es geht tatsaechlich nicht.
>
> Al hat Recht, die Dichte muesste sich auf der Geraden
> konzentrieren.
Was meint Ihr denn mit der Konzentration auf der Geraden? Etwa: Jedes meßbare [mm] M\in\IR^2, [/mm] welches die Gerade nicht schneidet, ist ein unmögliches Ereignis?
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") !?
LG
gfm
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:02 Do 08.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin gfm!
> > Es tut mir leid, da habe ich mich gestern voellig verrannt.
> > Es geht tatsaechlich nicht.
> >
> > Al hat Recht, die Dichte muesste sich auf der Geraden
> > konzentrieren.
>
> Was meint Ihr denn mit der Konzentration auf der Geraden?
> Etwa: Jedes meßbare [mm]M\in\IR^2,[/mm] welches die Gerade nicht
> schneidet, ist ein unmögliches Ereignis?
Wenn du mit unmoeglich meinst, dass die Menge Mass 0 hat, dann ja.
Damit folgt fuer eine Menge $M$ und die Gerade $g$: $P(M) = P(M [mm] \cap [/mm] g)$.
Insbesondere kann man daraus herleiten, dass die Dichte fast ueberall identisch 0 sein muss (mit dem Resultat [mm] $\int_M [/mm] f(x) [mm] d\mu(x) [/mm] = 0$ und $f(x) [mm] \ge [/mm] 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $f = 0$ fast ueberall auf $M$).
Was wiederum ein Widerspruch dazu ist, dass es eine soche Dichte geben kann.
Ich hoffe das entwirrt ein wenig
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Do 08.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Moin gfm!
>
> > > Es tut mir leid, da habe ich mich gestern voellig verrannt.
> > > Es geht tatsaechlich nicht.
> > >
> > > Al hat Recht, die Dichte muesste sich auf der Geraden
> > > konzentrieren.
> >
> > Was meint Ihr denn mit der Konzentration auf der Geraden?
> > Etwa: Jedes meßbare [mm]M\in\IR^2,[/mm] welches die Gerade nicht
> > schneidet, ist ein unmögliches Ereignis?
>
> Wenn du mit unmoeglich meinst, dass die Menge Mass 0 hat,
> dann ja.
>
> Damit folgt fuer eine Menge [mm]M[/mm] und die Gerade [mm]g[/mm]: [mm]P(M) = P(M \cap g)[/mm].
>
> Insbesondere kann man daraus herleiten, dass die Dichte
> fast ueberall identisch 0 sein muss (mit dem Resultat
> [mm]\int_M f(x) d\mu(x) = 0[/mm] und [mm]f(x) \ge 0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f = 0[/mm]
> fast ueberall auf [mm]M[/mm]).
>
> Was wiederum ein Widerspruch dazu ist, dass es eine soche
> Dichte geben kann.
>
> Ich hoffe das entwirrt ein wenig
Nein, weil ich die Antwort nicht nachvollziehen kann.
Ich glaube es hellt sich auf:
Hat man F bestimmt und stellt die Frage der Dichte, so kann man sich ja erst einmal für die zu F gehörige Intervallfunktion [mm] \phi:\mathcal{I}^2\to[0,1] [/mm] interessieren [mm] (\mathcal{I} [/mm] soll das System der links halboffenen Intervalle in [mm] \IR [/mm] sein), welche rechteckigen Bereichen mit achsen-parallelen Seiten Ihre Wahrscheinlichkeit zu ordnet: [mm] \phi_{(X,Y)}((x_1,x_2]\times(y_1,y_2])=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1). [/mm] Da in dem Fall hier [mm] F(x,y)=F_X(\min(x,(y-b)/a)) [/mm] gilt, verschwindet die Intervallfunktion, auf allen Rechtecken, die nicht die Gerade zu y=ax+b schneiden. Man wird ferner feststellen, dass, wenn man einen konstanten Abschnitt auf der Geraden mit disjunkten Quadraten so überdekt, dass jeweils zwei diagonal genüberliegende Ecken auf der Geraden liegen, diese ein konstantes von null verschiedenes W-Maß unabhängig davon erhalten, wie (beliebig) klein deren zweidimensionales Lebesgue-Maß ist. Damit ist klar, dass das W-Maß nicht absolut stetig gegen das Lebesgue-Map im [mm] \IR^2 [/mm] ist, woraus folgt, dass keine Dichte existieren kann, denn wenn es eine gäbe, würde absolute Stetigkeit vorliegen.
Richtig so?
LG
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Do 08.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin gfm,
> > Ich hoffe das entwirrt ein wenig
>
> Nein, weil ich die Antwort nicht nachvollziehen kann.
>
> Ich glaube es hellt sich auf:
>
> Hat man F bestimmt und stellt die Frage der Dichte, so kann
> man sich ja erst einmal für die zu F gehörige
> Intervallfunktion [mm]\phi:\mathcal{I}^2\to[0,1][/mm] interessieren
> [mm](\mathcal{I}[/mm] soll das System der links halboffenen
> Intervalle in [mm]\IR[/mm] sein), welche rechteckigen Bereichen mit
> achsen-parallelen Seiten Ihre Wahrscheinlichkeit zu ordnet:
> [mm]\phi_{(X,Y)}((x_1,x_2]\times(y_1,y_2])=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1).[/mm]
> Da in dem Fall hier [mm]F(x,y)=F_X(\min(x,(y-b)/a))[/mm] gilt,
> verschwindet die Intervallfunktion, auf allen Rechtecken,
> die nicht die Gerade zu y=ax+b schneiden. Man wird ferner
> feststellen, dass, wenn man einen konstanten Abschnitt auf
> der Geraden mit disjunkten Quadraten so überdekt, dass
> jeweils zwei diagonal genüberliegende Ecken auf der
> Geraden liegen, diese ein konstantes von null
> verschiedenes W-Maß unabhängig davon erhalten, wie
> (beliebig) klein deren zweidimensionales Lebesgue-Maß ist.
> Damit ist klar, dass das W-Maß nicht absolut stetig gegen
> das Lebesgue-Map im [mm]\IR^2[/mm] ist, woraus folgt, dass keine
> Dichte existieren kann, denn wenn es eine gäbe, würde
> absolute Stetigkeit vorliegen.
>
> Richtig so?
ja.
LG Felix
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Hallo zusammen,
ich habe mir für die Verteilungsfunktion F mit
$\ F(x,y)\ =\ [mm] \Phi\left(min\,\left(x\ \text{,}\ \frac{y+3}{2}\right)\right)$ [/mm]
eine Zeichnung gemacht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Niveaulinien F(x,y)= C mit [mm] C\in [/mm] (0 ... 1) sind L-förmig,
wobei der Knickpunkt jeweils auf der Geraden g: [mm] y=2\,x-3 [/mm] liegt.
Diese Verteilungsfunktion kann man sich also sehr gut vorstellen,
und sie ist offensichtlich in ganz [mm] \IR^2 [/mm] stetig. In jedem außerhalb
der Geraden g liegenden Punkt P(x,y) ist F auch differenzierbar.
dabei verschwindet [mm] \frac{\partial F(x,y)}{\partial x} [/mm] , falls P rechts (bzw. unterhalb) von g liegt.
Liegt P links (bzw. oberhalb) von g, so verschwindet [mm] \frac{\partial F(x,y)}{\partial y} [/mm] .
Für Punkte auf der Geraden g ist jedoch die Funktion F(x,y) nicht
(total) differenzierbar.
Was mit der allfälligen "absoluten" Stetigkeit hier gemeint ist,
ist mir leider an diesem Beispiel doch immer noch nicht so
recht klar geworden.
Zum Vergleich habe ich mir noch ein rechnerisch etwas ein-
facheres Beispiel einer Funktion mit analogen Eigenschaften
(allerdings ist es keine Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion)
gemacht. Die Funktion
$\ F(x,y)\ =\ x-|y|$
hat ebenfalls abgewinkelte Niveaulinien, die wie Fischgräte
von der x-Achse ausstrahlen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die partielle Ableitung nach x ist überall definiert, jene nach y
überall außer in den Punkten der x-Achse.
Die Frage nach absoluter Stetigkeit könnte man sich hier ganz
analog wie beim ersten Beispiel stellen.
Wer erklärt uns nun die genaue Bedeutung des Begriffs
"absolut stetig" an diesen Beispielen ?
LG Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Do 08.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo zusammen,
>
> ich habe mir für die Verteilungsfunktion F mit
>
> [mm]\ F(x,y)\ =\ \Phi\left(min\,\left(x\ \text{,}\ \frac{y+3}{2}\right)\right)[/mm]
>
> eine Zeichnung gemacht:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Die Niveaulinien F(x,y)= C mit [mm]C\in[/mm] (0 ... 1) sind
> L-förmig,
> wobei der Knickpunkt jeweils auf der Geraden g: [mm]y=2\,x-3[/mm]
> liegt.
> Diese Verteilungsfunktion kann man sich also sehr gut
> vorstellen,
> und sie ist offensichtlich in ganz [mm]\IR^2[/mm] stetig. In jedem
> außerhalb
> der Geraden g liegenden Punkt P(x,y) ist F auch
> differenzierbar.
> dabei verschwindet [mm]\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}[/mm] ,
> falls P rechts (bzw. unterhalb) von g liegt.
> Liegt P links (bzw. oberhalb) von g, so verschwindet
> [mm]\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}[/mm] .
> Für Punkte auf der Geraden g ist jedoch die Funktion
> F(x,y) nicht
> (total) differenzierbar.
> Was mit der allfälligen "absoluten" Stetigkeit hier
> gemeint ist,
> ist mir leider an diesem Beispiel doch immer noch nicht
> so
> recht klar geworden.
>
> Zum Vergleich habe ich mir noch ein rechnerisch etwas ein-
> facheres Beispiel einer Funktion mit analogen
> Eigenschaften
> (allerdings ist es keine
> Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion)
> gemacht. Die Funktion
>
> [mm]\ F(x,y)\ =\ x-|y|[/mm]
>
> hat ebenfalls abgewinkelte Niveaulinien, die wie
> Fischgräte
> von der x-Achse ausstrahlen:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Die partielle Ableitung nach x ist überall definiert,
> jene nach y
> überall außer in den Punkten der x-Achse.
> Die Frage nach absoluter Stetigkeit könnte man sich hier
> ganz
> analog wie beim ersten Beispiel stellen.
>
> Wer erklärt uns nun die genaue Bedeutung des Begriffs
> "absolut stetig" an diesen Beispielen ?
>
> LG Al-Chwarizmi
>
Ohne jetzt näher darauf eingehen zu können, liegt die Verwirrung auch daran, dass Maß und Verteilungsfunktion im [mm] \IR [/mm] relativ überschaubar
miteinander zusammen hängen:
[mm] \mu_F((x_1,x_2])=F(x_2)-F(x_1)
[/mm]
Man sieht hier sehr schnell, was passiert wenn man das Intervall auf einen Punkt zusammen zieht.
Im [mm] \IR^2 [/mm] gilt
[mm] \mu_F((x_1,x_2]\times(y_1,y_2])=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)
[/mm]
Und im betrachteten Fall verschwindet diese für alle Bereiche, die nicht die Gerade schneiden (siehe mein reply an Felix).
LG
gfm
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> Ohne jetzt näher darauf eingehen zu können, liegt die
> Verwirrung auch daran, dass Maß und Verteilungsfunktion im
> [mm]\IR[/mm] relativ überschaubar
> miteinander zusammen hängen:
>
> [mm]\mu_F((x_1,x_2])=F(x_2)-F(x_1)[/mm]
>
> Man sieht hier sehr schnell, was passiert wenn man das
> Intervall auf einen Punkt zusammen zieht.
>
> Im [mm]\IR^2[/mm] gilt
>
> [mm]\mu_F((x_1,x_2]\times(y_1,y_2])=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)[/mm]
>
> Und im betrachteten Fall verschwindet diese für alle
> Bereiche, die nicht die Gerade schneiden (siehe mein reply
> an Felix).
>
> LG
>
> gfm
Hallo gfm,
ich verstehe nicht recht, was du damit meinst, dass ein
leicht überschaubarer Zusammenhang mit dem Stiften
von Verwirrung zu tun haben solle ?
Ich habe mir eben ganz anschaulich überlegt: Diese
Verteilung mit Y=2*X-3 kann ja offensichtlich nur
Punkte liefern, welche auf der entsprechenden Geraden
liegen. Ergo ist die Dichte überall neben der Geraden
gleich Null und muss deshalb entlang der eindimensionalen
Geraden g, welche im [mm] \IR^2 [/mm] das Maß Null hat, unendliche
Werte im Sinn einer Dirac-Funktion annehmen.
Für eine korrekte Beschreibung des Sachverhalts, und um
unendliche Größen zu vermeiden, benützt man hier wohl
am besten gar keine "kombinierte Verteilung" über [mm] \IR^2,
[/mm]
sondern eine eindimensionale Verteilung längs g, was
auf dasselbe herauskommt, wie wenn man schlicht die X-Werte
nach Standard normal-verteilt und dann nebst X von der
davon linear abhängigen Größe Y spricht, bei deren Kreation
kein Quentchen weiterer Zufälligkeit hereinspielt.
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:22 Fr 09.07.2010 | | Autor: | gfm |
> > Ohne jetzt näher darauf eingehen zu können, liegt die
> > Verwirrung auch daran, dass Maß und Verteilungsfunktion im
> > [mm]\IR[/mm] relativ überschaubar
> > miteinander zusammen hängen:
> >
> > [mm]\mu_F((x_1,x_2])=F(x_2)-F(x_1)[/mm]
> >
> > Man sieht hier sehr schnell, was passiert wenn man das
> > Intervall auf einen Punkt zusammen zieht.
> >
> > Im [mm]\IR^2[/mm] gilt
> >
> >
> [mm]\mu_F((x_1,x_2]\times(y_1,y_2])=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)[/mm]
> >
> > Und im betrachteten Fall verschwindet diese für alle
> > Bereiche, die nicht die Gerade schneiden (siehe mein reply
> > an Felix).
> >
> > LG
> >
> > gfm
>
>
> Hallo gfm,
>
> ich verstehe nicht recht, was du damit meinst, dass ein
> leicht überschaubarer Zusammenhang mit dem Stiften
> von Verwirrung zu tun haben solle ?
>
> Ich habe mir eben ganz anschaulich überlegt: Diese
> Verteilung mit Y=2*X-3 kann ja offensichtlich nur
> Punkte liefern, welche auf der entsprechenden Geraden
> liegen. Ergo ist die Dichte überall neben der Geraden
> gleich Null und muss deshalb entlang der eindimensionalen
> Geraden g, welche im [mm]\IR^2[/mm] das Maß Null hat, unendliche
> Werte im Sinn einer Dirac-Funktion annehmen.
> Für eine korrekte Beschreibung des Sachverhalts, und um
> unendliche Größen zu vermeiden, benützt man hier wohl
> am besten gar keine "kombinierte Verteilung" über [mm]\IR^2,[/mm]
> sondern eine eindimensionale Verteilung längs g, was
> auf dasselbe herauskommt, wie wenn man schlicht die
> X-Werte
> nach Standard normal-verteilt und dann nebst X von der
> davon linear abhängigen Größe Y spricht, bei deren
> Kreation
> kein Quentchen weiterer Zufälligkeit hereinspielt.
Ein Beispiel ist immer gut, um zu überprüfen, ob man eine abstrakte allgemeine Struktur richtig verinnerlicht hat, was zumindest in diesem Kontext bei mir nicht der Fall war.
Für das gegebene Beispiel war anschaulich klar, dass die komplette W-Masse auf der Geraden liegt.
Was mich aber zu erst verwirrt hat, war das formale Ergebnis [mm] F_{(X,Y)}(s,t)=F_X(\min(s,(t-b)/a)) [/mm] bei der linearen Transformation Y=aX+b für die Verteilungsfunktion von Z:=(X,Y).
[mm] F_X(\min(s,(t-b)/a) [/mm] ist überall stetig und bis auf eine [mm]\lambda^2[/mm]-Nullmenge diff'bar, woraus ich zuerst schloss, dass sie eigentlich absolut stetig sein müßte und damit auch eine Dichte besitzen müßte.
Der scheinbare Widerspruch löste sich auf, wenn man
a) absolut stetig für Maße und Funktionen auseinanderhält
und bebachtet, was
b) absolut stetig für Funktionen im mehrdimensionalen bedeutet.
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:48 Fr 09.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Was mich aber zu erst verwirrt hat, war das formale
> Ergebnis [mm]F_{(X,Y)}(s,t)=F_X(\min(s,(t-b)/a))[/mm] bei der
> linearen Transformation Y=aX+b für die Verteilungsfunktion
> von Z:=(X,Y).
>
> [mm]F_X(\min(s,(t-b)/a)[/mm] ist überall stetig und bis auf eine
> [mm]\lambda^2[/mm]-Nullmenge diff'bar, woraus ich zuerst schloss,
> dass sie eigentlich absolut stetig sein müßte und damit
> auch eine Dichte besitzen müßte.
genau das ist mir auch passiert.
> Der scheinbare Widerspruch löste sich auf, wenn man
>
> a) absolut stetig für Maße und Funktionen
> auseinanderhält
>
> und bebachtet, was
>
> b) absolut stetig für Funktionen im mehrdimensionalen
> bedeutet.
Ja. Das kam in den Vorlesungen, die ich zum Thema gehoert hab, leider viel zu kurz...
Aber man lernt ja immer dazu :)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Fr 09.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Ja. Das kam in den Vorlesungen, die ich zum Thema gehoert
> hab, leider viel zu kurz...
Ich habe zum Glück das mehrbändige Werk von Smirnow zu höhren Mathematik zuhause, wo er das im fünften Band zumindest beiläufig anreist. Das Buch ist auch bei Google-Books einsehbar.
LG
gfm
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:48 Fr 09.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Aber man lernt ja immer dazu :)
Ah, Du lernst also gerne dazu? Na, dann will ich hier mal die Gelegenheit beim Schopf packen, da Ihr mir ja bisher ausgewichen seid:
In diesem Beispiel war die Verteilung von (X,aX+b) singulär bezüglich [mm] \lambda^2.
[/mm]
Wie muss denn eine Funktion g beschaffen sein, damit die Verteilung von Z:=(X,g(X)) nicht singulär ist, vorausgesetzt, dass X eine stetige Dichte hat? Oder noch konkreter:
Sei X eine ZV auf dem W-Raum [mm] W:=(\Omega:=[0,1],\mathcal{A}:=\mathcal{B}(\Omega),P:=\lambda^1|_\Omega) [/mm] mit einer stetigen Dichte [mm] f_X(t). [/mm] Unter welchen Voraussetzungen an [mm] g:\Omega\to\IR [/mm] haben X und g(X) eine gegen [mm] \lambda^2 [/mm] absolut stetige gemeinsame Verteilung?
Und wenn wir schon dabei sind: Was kann man über die analytischen Eigenschaften (z.B. Rektifizierbarkeit, Totalvariation, Hölderstetig, Stetigkeit, Diff'barkeit, usw.) von g aussagen, wenn man möchte, dass X und g(X) unabhängig sind?
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 So 11.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 Mi 07.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Es sei X standardnormalverteilt und Y:=2X-3 normalverteilt
> mit Erwartungswert -3 und Varianz 4.
>
> Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage:
> Die gemeinsame Verteilung von X und Y besitzt eine
> Wahrscheinlichkeitsdichte, d.h. der Vektor (X,Y) ist
> absolut stetig verteilt.
> Hallo Leute,
> ich tu mich extrem schwer mit der obigen Aufgabe.
> Ich würde mal vermuten, dass auch die gemeinsame
> Verteilung wiederum absolut stetig verteilt ist, da eine
> diskrete Verteilung irgendwie schwer vorstellbar ist.
>
> Wär echt richtig klasse, wenn jeman an Tipp für mich
> hätte wie ich das beweisen kann.
> Herzlichen Dank schon mal.
Also Du hast eine ZV X mit einer Dichte [mm] f_X(s) [/mm] sowie Y:=aX+b (sei [mm] a\not=0)gegeben, [/mm] d.h.
[mm] f_X(t) [/mm] sei f.ü. die (integrierbare) Ableitung des als absolut stetig vorausgesetzten [mm] F_X(s):=P(\{X\le s\})
[/mm]
Gesucht ist [mm] F_{(X,Y)}(s,t):=P_{(X,Y)}((-\infty,s]\times(-\infty,t]):=P(\{X\in(-\infty,s]\}\cap\{Y\in(-\infty,t]\}) [/mm] im Zusammenhang mit der Frage, ob es eine Darstellung [mm] F_{(X,Y)}(s,t)=\integral_{(-\infty,s]\cap(-\infty,t]}f_{(X,Y)}(p,q)d\lambda(p,q) [/mm] mit einem integrierbaren [mm] f_{(X,Y)} [/mm] gibt.
Wie schon erwähnt ist [mm] (\wedge [/mm] bezeichne die Operation der Minimumsbildung, geschweifte Klammern werden unterdrückt)
[mm]F_{(X,Y)}(s,t)=P(X\le s\wedge (t-b)/a)[/mm]
Damit erhält man
[mm]F_{(X,Y)}(s,t)=F_X(s\wedge (t-b)/a)=F_X(s)1_{(-\infty,(t-b)/a]}(s)+F_X((t-b)/a)1_{((t-b)/a,\infty)}(s)[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Mi 07.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay vielen herzlichen Dank auch an alle andern andern!!
D.h. ich weiß nun, dass meine Verteilungsfunktion F absolut steig ist, aber warum gibt es dann auch sicher eine W'dichte f??
Felix mente dazu ich müsse einfach für [mm] x\not=\frac{y + 3}{2} [/mm] ableiten, aber was soll ich ableiten?
Und von dieser Dichte, die ich durch Ableiten bekomme, muss ich dann noch zeigen, dass es tatsächlich eine Dichte ist,
sodass gilt [mm] F(x,y)=\integral_{-\infty}^x \integral_{-\infty}^y f(a,b)db\;da.
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Mi 07.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Okay vielen herzlichen Dank auch an alle andern andern!!
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> D.h. ich weiß nun, dass meine Verteilungsfunktion F
> absolut steig ist, aber warum gibt es dann auch sicher eine
> W'dichte f??
> Felix mente dazu ich müsse einfach für [mm]x\not=\frac{y + 3}{2}[/mm]
> ableiten, aber was soll ich ableiten?
>
> Und von dieser Dichte, die ich durch Ableiten bekomme,
> muss ich dann noch zeigen, dass es tatsächlich eine Dichte
> ist,
> sodass gilt [mm]F(x,y)=\integral_{-\infty}^x \integral_{-\infty}^y f(a,b)db\;da.[/mm]
>
Guck Dir mal meine Frage an Felix an...
LG
gfm
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