Beweis: Verall. d. Bern. Ungl. < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Di 06.11.2007 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Beweisen sie die folgende Verallgemeinerung der Bernouillschen Ungleichung:
Seien n [mm] \in \mathbb [/mm] N und [mm] x_1, \cdot \cdot \cdot ,x_n \geq [/mm] -1. Alle von 0 verschiedenen [mm] x_i [/mm] mögen das gleiche Vorzeichen haben. Dann gilt:
[mm] (1+x_1) \cdot \cdot \cdot (1+x_n) \geq [/mm] 1 + [mm] \summe_{j=1}^{n}{x_j} [/mm] |
Hi!
Normalerweise hänge ich ja gerne beim letzten Schritt des Induktionsschlusses, aber hier habe ich schon Probleme mit dem Verständnis und dem I.A.
Da n [mm] \in \mathbb [/mm] N ist, wählen wir n für den Induktionsanfang wahrscheinlich gerne als 1.
Was heißt das jetzt?
Hieße doch, dass
[mm] (1+x_1) \geq \summe_{j=1}^{1}{x_j} [/mm] = 2
ist, oder?
Doch woher weiß ich nun, dass das stimmt? Ich meine das Produkt auf der linken Seite ist doch immer nur [mm] \geq [/mm] -1.
Das ginge mir ja auch egal für welches n [mm] \in \mathbb [/mm] N so.
Bitte klärt mich auf :)
Danke!
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Hallo Wumme!
Du hast die rechte Seite der Ungleichung falsch "übersetzt" bzw. umgesetzt:
[mm] $$\left(1+x_1\right)^1 [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] 1+\blue{\summe_{j=1}^{1}x_j} [/mm] \ = \ [mm] 1+\blue{x_1}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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