Beweis Vektorraum < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Do 12.06.2008 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | Sei V ein euklidischer Vektorraum mit dim(V) >= 1 = n und f:V->V eine
reelle lineare Abbildung. Zeigen sie, dass es stets einen f-invarianten Untervektorraum U von V gibt mit dim(U) Element {1,2}.
Hinweis: Zeigen sie zunächst mit dem Fundamentalsatz der Algebra, dass man jedes reelle Polynom p mit n = deg(p) >= 1 in der Form
p(x) = [mm] a(x-b_1)*...* (x-b_r)*q_1(x)*...*q_s(x) [/mm] schreiben kann mit n = r+2s,
[mm] a,b_1..b_r, [/mm] und [mm] q_k [/mm] Element den reellen Zahlen mit [mm] deg(q_k)= [/mm] 2. |
Leider weiß ich überhaupt nicht wie ich das angehen sollte.
Kann mir evtl einer von euch helfen???
|
|
| |
|
> Sei V ein euklidischer Vektorraum mit dim(V) >= 1 = n und
> f:V->V eine
> reelle lineare Abbildung. Zeigen sie, dass es stets einen
> f-invarianten Untervektorraum U von V gibt mit dim(U)
> Element {1,2}.
>
> Hinweis: Zeigen sie zunächst mit dem Fundamentalsatz der
> Algebra, dass man jedes reelle Polynom p mit n = deg(p) >=
> 1 in der Form
> p(x) = [mm]a(x-b_1)*...* (x-b_r)*q_1(x)*...*q_s(x)[/mm] schreiben
> kann mit n = r+2s,
> [mm]a,b_1..b_r,[/mm] und [mm]q_k[/mm] Element den reellen Zahlen mit
> [mm]deg(q_k)=[/mm] 2.
> Leider weiß ich überhaupt nicht wie ich das angehen
> sollte.
> Kann mir evtl einer von euch helfen???
Hallo,
zunächst eine Bitte: nimm doch bitte den Formeleditor, Eingabehilfen finden sich unterhalb des Eingabefensters.
Leider verrätst Du nicht, wo genau Deine Probleme liegen.
Mal ein Hinweis:
betrachte das charakteristische Polynom von f.
Entweder kann man einen Linearfaktor abspalten.
Dann ist der invariante Unterraum leicht zu finden.
Wenn man keinen Linearfaktor abspalten kann, ist ein quadratisches Polynom p(x) ohne Nullstelle ein Primteiler des charakteristischen Polynoms.
Betrachte nun den Kern von p(f).
Gruß v. Angela
|
|
|
|
