Beweis, Ungleichung, Arg, Abs < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Mi 22.09.2010 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
ich verstehe einen (vermutlich trivialen) Rechenschritt aus dem Buch nicht.
Voraussetzungen:
(1): [mm] $-\frac{\pi}{2}<\beta<\frac{\pi}{2}$
[/mm]
(2): [mm] $z\in\IC$ [/mm] mit [mm] $-\frac{\pi}{2}+\beta<\mathrm{arg}(z)<\frac{3\pi}{2}+\beta$
[/mm]
(3): [mm] $\delta>0$, [/mm] so dass
(a): [mm] $-\frac{\pi}{2}+\delta\leqslant\beta\leqslant\frac{\pi}{2}-\delta$
[/mm]
(b): [mm] $z\in\IC$ [/mm] mit [mm] $-\pi+\delta\leqslant\mathrm{arg}(z)-\left(\frac{\pi}{2}+\beta\right)\leqslant\pi-\delta$
[/mm]
[mm] $(\Rightarrow\;-\frac{\pi}{2}+\beta+\delta\leqslant\mathrm{arg}(z)\leqslant\frac{3\pi}{2}+\beta-\delta$)
[/mm]
Dann gilt (wegen (3)(a) und (3)(b)):
[mm] $-\pi+2\delta\leqslant\mathrm{arg}(z)\leqslant 2\pi-2\delta$
[/mm]
Aussage:
Sei nun [mm] $u=r_ue^{i\beta}$ [/mm] (mit [mm] $\IR\ni r_u>0$), $t\in\left[0,1\right]$. [/mm] Dann soll dem Buch zufolge folgendes erfuellt sein:
(A): [mm] $\left|1-\frac{ut}{2iz}\right|\geqslant\sin\delta$
[/mm]
(B): [mm] $\left|\mathrm{arg}\left(1-\frac{ut}{2iz}\right)\right|<\pi$
[/mm]
Loesungsidee:
Sei [mm] $u=r_ue^{i\beta}$ [/mm] (mit [mm] $\IR\ni r_u>0$), $t\in\left[0,1\right]$, $z=r_ze^{i\mathrm{arg}(z)}$ [/mm] (mit [mm] $\IR\ni r_z>0$ [/mm] und [mm] $\mathrm{arg}(z)$ [/mm] entsprechend der Voraussetzungen). Dann gilt (wegen [mm] $i=e^{i\frac{\pi}{2}}$):
[/mm]
[mm] $1-\frac{ut}{2iz}=1-\frac{r_ue^{i\beta}t}{2e^{i\frac{\pi}{2}}r_ze^{i\mathrm{arg}(z)}}=1-\frac{r_ut}{2r_z}\cdot e^{i\left(\beta-\frac{\pi}{2}-\mathrm{arg}(z)\right)}$
[/mm]
Aber wie komme ich nun auf die aufgefuehrten Ungleichungen?
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:30 Fr 24.09.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo an alle,
>
> ich verstehe einen (vermutlich trivialen) Rechenschritt aus
> dem Buch nicht.
>
> Voraussetzungen:
>
> (1): [mm]-\frac{\pi}{2}<\beta<\frac{\pi}{2}[/mm]
> (2): [mm]z\in\IC[/mm] mit
> [mm]-\frac{\pi}{2}+\beta<\mathrm{arg}(z)<\frac{3\pi}{2}+\beta[/mm]
> (3): [mm]\delta>0[/mm], so dass
> (a):
> [mm]-\frac{\pi}{2}+\delta\leqslant\beta\leqslant\frac{\pi}{2}-\delta[/mm]
> (b): [mm]z\in\IC[/mm] mit
> [mm]-\pi+\delta\leqslant\mathrm{arg}(z)-\left(\frac{\pi}{2}+\beta\right)\leqslant\pi-\delta[/mm]
>
> [mm](\Rightarrow\;-\frac{\pi}{2}+\beta+\delta\leqslant\mathrm{arg}(z)\leqslant\frac{3\pi}{2}+\beta-\delta[/mm])
>
> Dann gilt (wegen (3)(a) und (3)(b)):
>
> [mm]-\pi+2\delta\leqslant\mathrm{arg}(z)\leqslant 2\pi-2\delta[/mm]
>
> Aussage:
>
> Sei nun [mm]u=r_ue^{i\beta}[/mm] (mit [mm]\IR\ni r_u>0[/mm]),
> [mm]t\in\left[0,1\right][/mm]. Dann soll dem Buch zufolge folgendes
> erfuellt sein:
>
> (A): [mm]\left|1-\frac{ut}{2iz}\right|\geqslant\sin\delta[/mm]
> (B):
> [mm]\left|\mathrm{arg}\left(1-\frac{ut}{2iz}\right)\right|<\pi[/mm]
>
> Loesungsidee:
> Sei [mm]u=r_ue^{i\beta}[/mm] (mit [mm]\IR\ni r_u>0[/mm]),
> [mm]t\in\left[0,1\right][/mm], [mm]z=r_ze^{i\mathrm{arg}(z)}[/mm] (mit [mm]\IR\ni r_z>0[/mm]
> und [mm]\mathrm{arg}(z)[/mm] entsprechend der Voraussetzungen). Dann
> gilt (wegen [mm]i=e^{i\frac{\pi}{2}}[/mm]):
>
> [mm]1-\frac{ut}{2iz}=1-\frac{r_ue^{i\beta}t}{2e^{i\frac{\pi}{2}}r_ze^{i\mathrm{arg}(z)}}=1-\frac{r_ut}{2r_z}\cdot e^{i\left(\beta-\frac{\pi}{2}-\mathrm{arg}(z)\right)}[/mm]
>
> Aber wie komme ich nun auf die aufgefuehrten
> Ungleichungen?
Die Ungleichung für das Argument bedeutet doch nur, dass [mm] \left(1-\frac{ut}{2iz}\right) [/mm] entweder reell ist oder positiven Imaginärteil hat. (Wieso eigentlich Betrag des Arguments? Die Argumentfunktion hat doch nur nichtnegative reelle Werte.)
Ich würde daher Real- und Imaginärteil sowie den Betrag des betrachteten Ausdrucks erst einmal explizit ausrechnen, z.B.
[mm] 1-\frac{ut}{2iz} = 1 -\frac{r_ut}{2r_z} \cos (\beta-\frac{\pi}{2}-\mathrm{arg}(z)) - i \frac{r_ut}{2r_z}\sin (\beta-\frac{\pi}{2}-\mathrm{arg}(z)) [/mm]
[mm] = 1 -\frac{r_ut}{2r_z} \cos \left(\mathrm{arg}(z)-\left(\frac{\pi}{2}+\beta\right)+\pi\right) +i \frac{r_ut}{2r_z}\sin\left(\mathrm{arg}(z)-\left(\frac{\pi}{2}+\beta\right)+\pi\right)[/mm]
[mm] = 1 + \frac{r_ut}{2r_z} \cos \left(\mathrm{arg}(z)-\left(\frac{\pi}{2}+\beta\right)\right) -i \frac{r_ut}{2r_z}\sin\left(\mathrm{arg}(z)-\left(\frac{\pi}{2}+\beta\right)\right) [/mm]
und
[mm] \left|1-\frac{ut}{2iz}\right|^2 = \left(1-\frac{r_ut}{2r_z}\cdot e^{i\left(\beta-\frac{\pi}{2}-\mathrm{arg}(z)\right)}\right)\left(1-\frac{r_ut}{2r_z}\cdot e^{-i\left(\beta-\frac{\pi}{2}-\mathrm{arg}(z)\right)}\right) [/mm]
[mm] = 1 + \left(\frac{r_ut}{2r_z}\right)^2 - \bruch{r_ut}{r_z} \cos(\beta-\frac{\pi}{2}-\mathrm{arg}(z)) [/mm]
[mm] = 1 + \left(\frac{r_ut}{2r_z}\right)^2 + \bruch{r_ut}{r_z} \cos\left(\mathrm{arg}(z)-\left(\frac{\pi}{2}+\beta\right)\right) [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:34 Fr 24.09.2010 | | Autor: | Denny22 |
Vielen lieben Dank fuer Eure Hilfe. Fuer den Nachweis habe ich voellig uebersehen, dass [mm] $\mathrm{arg}(z)$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] eine zusaetzliche Bedingung erfuellen, die im Buch 40 Seiten vorher erwaehnt wurde. Am Rande: Das Argument liegt im Buch (aus Symmetriegruenden) im Intervall [mm] $[-\pi,\pi[$.
[/mm]
Danke
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