Beweis Ungleichung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Do 09.01.2014 | | Autor: | Illihide |
| Aufgabe | Beweise:
a) 1 < [mm] \integral_{0}^{1}{e^(x^2) dx} [/mm] < e
b) 1 < [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{sinx}{x} dx} [/mm] < [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Bei b) beweise man zunächst [mm] sinx>\bruch{2}{\pi}x [/mm] fur [mm] 0 |
Soll ich die Integrale berechnen oder wie kann ich den Beweis führen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Do 09.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Beweise:
>
> a) 1 < [mm]\integral_{0}^{1}{e^(x^2) dx}[/mm] < e
> b) 1 < [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{sinx}{x} dx}[/mm]
> < [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> Bei b) beweise man zunächst [mm]sinx>\bruch{2}{\pi}x[/mm] fur
> [mm]0
> Soll ich die Integrale berechnen
Das würde heikel werden.....
> oder wie kann ich den
> Beweis führen?
ich geb Dir mal einige Anregungen für a):
Aus 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 folgt 0 [mm] \le x^2 \le [/mm] 1. Wegen der strengen Monotonie der Exp. -Funktion haben wir:
[mm] 1=e^0 \le e^{x^2} \le e^1=e, [/mm] also
1 [mm] \le e^{x^2} \le [/mm] e für alle x [mm] \in [/mm] [0,1].
Nun integriere.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Do 09.01.2014 | | Autor: | Illihide |
Ich soll [mm] \integral_{0}^{1}{e^(x^2) dx} [/mm] nunn doch integrieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Do 09.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich soll [mm]\integral_{0}^{1}{e^(x^2) dx}[/mm] nunn doch
> integrieren?
Nein !
Aus $1 [mm] \le e^{x^2} \le [/mm] e $ für alle x $ [mm] \in [/mm] $ [0,1] folgt (Monotonie des Integrals)
$1 [mm] \le \integral_{0}^{1}{1 dx} \le \integral_{0}^{1}{e^{x^2} dx} \le \integral_{0}^{1}{e dx}=e$
[/mm]
So, jetzt hab ich Dir mehr als die halbe Miete vorgemacht. Nun spendiere Du mal etwas um noch zu sehen, das
$1 < [mm] \integral_{0}^{1}{e^{x^2} dx} [/mm] <e$
gilt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Do 09.01.2014 | | Autor: | Illihide |
Ich wollte erstmal nur wissen ob es mögliche wäre dies zu integrieren bzw ob das für den beweis genügen würde wenn es ginge.
Ich denke mal das müsste jz so funktionieren:
da das [mm] \integral_{0}^{1}{e^0 dx} [/mm] die sozusagen untere Grenze ist wenn angenommen x=0. und [mm] \integral_{0}^{1}{e^1 dx} [/mm] die obere Grenze wenn x=1 ist dann muss [mm] \integral_{0}^{1}{e^(x^2) dx} [/mm] immer dazwischen liegen da [mm] x^2 [/mm] zw 0 und 1 immer 0<x<1 ist.
Ich denk mal ich habe es falsch formuliert aber ich denke ich habs verstanden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Do 09.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst und kannst [mm] e^{x^2} [/mm] nicht integrieren, sondern benutzen
[mm] (b-a)*\integral_{a}^{b}{min_{a,b}((f(x)) dx}\le \integral_{a}^{b}{f(x) dx}\le (b-a)*\integral_{a}^{b}{max(f(x) dx}
[/mm]
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Do 09.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich wollte erstmal nur wissen ob es mögliche wäre dies zu
> integrieren bzw ob das für den beweis genügen würde wenn
> es ginge.
> Ich denke mal das müsste jz so funktionieren:
> da das [mm]\integral_{0}^{1}{e^0 dx}[/mm] die sozusagen untere
> Grenze ist wenn angenommen x=0. und [mm]\integral_{0}^{1}{e^1 dx}[/mm]
> die obere Grenze wenn x=1 ist dann muss
> [mm]\integral_{0}^{1}{e^(x^2) dx}[/mm] immer dazwischen liegen da
> [mm]x^2[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
zw 0 und 1 immer 0<x<1 ist.
> Ich denk mal ich habe es falsch formuliert aber ich denke
> ich habs verstanden.
das kann man schlecht beurteilen; aber normalerweise lehrt die Erfahrung:
Wer Sachen nicht sauber oder schlecht formuliert hat, hat sie (leider eben)
(noch) nicht verstanden!
Die Sache war die:
Für $r < s\,$ gilt: Aus
$f(x) \le g(x)$ für alle $r < x < s$ (oder auch $r \le x \le s$)
folgt
$\int_r^s f(x)dx \le \int_r^s g(x) dx\,.$
Deswegen folgte mit Freds Hinweis, dass ja für alle $0=r \le x \le s=1$ doch
$1=e^0 \le e^{x^2} \le e^1$
gilt, sofort
$\int_0^1 1 dx \le \int_0^1 e^{x^2}dx \le \int_0^1 e^1dx\,.$
(Man kann sowas auch mit dem von Leduart gesagten hinschreiben, es ist
eigentlich i.W. analog...)
Das linke und rechte Integral kannst Du auswerten, das ist nicht schwer:
Ist $k\,$ konstant, so ist doch
$\int_r^s kdx=k\int_r^s 1dx=k*(s-r)\,.$
($x \mapsto x$ ist ja eine(!) Stammfunktion von $x \mapsto 1\,.$)
So, und Fred sagte: Das ist aber noch nicht ganz die Behauptung - um da
echte Ungleichheitszeichen setzen zu dürfen, fehlt noch was.
Naja, sowas wie:
Wenn $\left.f\right|_{[r,s]}\,$ und $\left.g\right|_{[r,s]}$ stetig sind, dann auch $f(x) \le g(x)\,$ für alle $r \le x \le s$ gilt,
und wenn dann auch noch $f(x_0) < g(x_0)$ für ein $x_0 \in [r,s]$ gilt, dann kann man
mit einem Stetigkeitsargument einsehen, dass nicht nur
$\int_r^s f(x)dx \;\le\; \int_r^s g(x)dx$
gilt, sondern SOGAR
$\int_r^s f(x)dx \;\;\red{ < }\;\int_r^s g(x)dx\,.$
Das behaupte ich jetzt jedenfalls mal - Du darfst Dich mal an einem Beweis
versuchen. Jedenfalls kannst Du dieses Ergebnis dann schnell bei Deiner
Aufgabe anwenden...
Gruß,
Marcel
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Hallo,
man kann sich bei der Aufgabe ruhig mal vor Augen halten, was eigentlich gezeigt werden soll.
Wenn man einmal wieder bedenkt, dass das Integral hier den Flächeninhalt unter dem Graphen wiedergibt. Dann kann man sich ja mal das folgende Bildchen malen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Man sieht recht schnell, dass die Ungleichung also tatsächlich gilt. Dabei wurde die entsprechenden Funktionen aus den Abschätzungen von Fred genommen.
Das ist nur eine kleine geometrische Deutung. Aber so ist zumindest erst einmal klar, was überhaupt geschieht, und wie man solche Geschichten sinnvoll abschätzen kann.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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