Beweis Teilmenge < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap (\overline{B} \cup [/mm] C) [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C)
b) Welche Voraussetzungen müssen gegeben sein, damit ein Gleichheitszeichen stehen kann?
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Also mein Lösungsversuch sieht erstmal wie folgt aus:
(x [mm] \in [/mm] A oder x [mm] \in [/mm] B) und (x [mm] \not\in [/mm] B oder x [mm] \in [/mm] C)
[mm] \Rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \not\in [/mm] B) oder (x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] C) oder (x [mm] \in [/mm] B und x [mm] \not\in [/mm] B) oder (x [mm] \in [/mm] B und x [mm] \in [/mm] C)
[mm] \Rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \not\in [/mm] B) oder (x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] C) oder (x [mm] \in [/mm] B und x [mm] \in [/mm] C)
[mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \cap \overline{B}) \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)
-> (A [mm] \cap \overline{B}) \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C) und
(A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C) und
(B [mm] \cap [/mm] C) [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C)
[mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \cap \overline{B}) \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C) [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C)
[mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap (\overline{B} \cup [/mm] C) [mm] \subseteq [/mm] (A [mm] \cup [/mm] C)
Ist das erstmal so richtig? Kann man das auch so als Beweis schreiben?
Zu b) ist mir such nach reiflicher Überlegung noch nichts richtiges eingefallen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo heinrich01!
> a) (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cap (\overline{B} \cup[/mm] C) [mm]\subseteq[/mm] (A [mm]\cup[/mm]
> C)
> b) Welche Voraussetzungen müssen gegeben sein, damit ein
> Gleichheitszeichen stehen kann?
> Zu b) ist mir such nach reiflicher Überlegung noch nichts
> richtiges eingefallen.
Hast du mal Bildchen gezeichnet? Das ist zwar kein Beweis, aber als Ansatz hilft es oft. Also zeichne dir mal drei Mengen, die sich alle schneiden, und dann zeichne einmal den linken und einmal den rechten Teil ein. Und dann überlege dir, was sein muss, damit beides das gleiche ist.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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> a) (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cap (\overline{B} \cup[/mm] C) [mm]\subseteq[/mm] (A [mm]\cup[/mm]
> C)
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> Also mein Lösungsversuch sieht erstmal wie folgt aus:
>
> (x [mm]\in[/mm] A oder x [mm]\in[/mm] B) und (x [mm]\not\in[/mm] B oder x [mm]\in[/mm] C)
> [mm]\Rightarrow[/mm] (x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\not\in[/mm] B) oder (x [mm]\in[/mm] A und x
> [mm]\in[/mm] C) oder (x [mm]\in[/mm] B und x [mm]\not\in[/mm] B) oder (x [mm]\in[/mm] B und x
> [mm]\in[/mm] C)
> [mm]\Rightarrow[/mm] (x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\not\in[/mm] B) oder (x [mm]\in[/mm] A und x
> [mm]\in[/mm] C) oder (x [mm]\in[/mm] B und x [mm]\in[/mm] C)
> [mm]\Rightarrow[/mm]
[mm] x\in
[/mm]
> (A [mm]\cap \overline{B}) \cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C) [mm]\cup[/mm] (B
> [mm]\cap[/mm] C)
Hallo,
bis hierher ist es richtig, wenn ich auch einen etwas schnelleren Weg gewählt hätte:
[mm] x\in [/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cap (\overline{B} \cup[/mm] C)
==>
[mm] x\in [/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) \ B=A \ B oder [mm] x\in [/mm] (A [mm]\cup[/mm] [mm] B)\cap [/mm] C (*)
Hieraus folgt dann schnell die Behauptung.
Auch das, was Du weiter tust, ist im Prinzip richtig.
Statt "->" wäre aber ein erklärendes Wort darüber, warum Du tust, was Du tust, angebracht. Du hast ja Gründe dafür.
> -> (A [mm]\cap \overline{B}) \subseteq[/mm] (A [mm]\cup[/mm] C)
Außerdem würde ich hier und in den anderen beiden Zeilen noch einen Schritt einschieben:
[mm] x\in [/mm] (A [mm][mm] \cap \overline{B}) [/mm] ==> x [mm] \in [/mm] A ==> [mm] x\in A\cup [/mm] C
und
> (A [mm]\cap[/mm] C) [mm]\subseteq[/mm] (A [mm]\cup[/mm] C) und
> (B [mm]\cap[/mm] C) [mm]\subseteq[/mm] (A [mm]\cup[/mm] C)
Hier mußt Du den Anschluß zu (*) herstellen.
Z.B. "Also folgt aus (*)..."
> [mm]\Rightarrow[/mm] (A [mm]\cap \overline{B}) \cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C) [mm]\cup[/mm] (B
> [mm]\cap[/mm] C) [mm]\subseteq[/mm] (A [mm]\cup[/mm] C)
"Somit ist"
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cap (\overline{B} \cup[/mm] C) [mm]\subseteq[/mm]
> (A [mm]\cup[/mm] C)
>
> Ist das erstmal so richtig? Kann man das auch so als Beweis
> schreiben?
Du hast es ziemlich gut gemacht.
Denk dran, an einigen Stellen ggf. ein Wörtchen zu spendieren.
Keine lyrischen Ergüsse, aber eine kl. Erklärung hat noch nie geschadet.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | bis hierher ist es richtig, wenn ich auch einen etwas schnelleren Weg gewählt hätte:
$ [mm] x\in [/mm] $ (A $ [mm] \cup [/mm] $ B) $ [mm] \cap (\overline{B} \cup [/mm] $ C)
==>
$ [mm] x\in [/mm] $ (A $ [mm] \cup [/mm] $ B) \ B=A \ B oder $ [mm] x\in [/mm] $ (A $ [mm] \cup [/mm] $ $ [mm] B)\cap [/mm] $ C (*)
> (B $ [mm] \cap [/mm] $ C) $ [mm] \subseteq [/mm] $ (A $ [mm] \cup [/mm] $ C) |
bis hierher ist es richtig, wenn ich auch einen etwas schnelleren Weg gewählt hätte:
$ [mm] x\in [/mm] $ (A $ [mm] \cup [/mm] $ B) $ [mm] \cap (\overline{B} \cup [/mm] $ C)
==>
$ [mm] x\in [/mm] $ (A $ [mm] \cup [/mm] $ B) \ B=A \ B oder $ [mm] x\in [/mm] $ (A $ [mm] \cup [/mm] $ $ [mm] B)\cap [/mm] $ C (*)
.....Wie kommst du darauf???
> (B $ [mm] \cap [/mm] $ C) $ [mm] \subseteq [/mm] $ (A $ [mm] \cup [/mm] $ C)
das kann doch wohl nicht richtig sein oder??? (Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.)
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> bis hierher ist es richtig, wenn ich auch einen etwas
> schnelleren Weg gewählt hätte:
>
> [mm]x\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cap (\overline{B} \cup[/mm] C)
>
> ==>
>
> [mm]x\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) \ B=A \ B oder [mm]x\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] [mm]B)\cap[/mm] C (*)
>
> .....Wie kommst du darauf???
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich mache das für Dich jetzt ausführlich:
[mm] x\in(A \cup [/mm] B) [mm] \cap (\overline{B} \cup [/mm] C)
==> [mm] x\in(A \cup [/mm] B) und [mm] x\in (\overline{B} \cup [/mm] C) (Def. Schnitt)
==> [mm] x\in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) und [mm] (x\not\in [/mm] B oder [mm] x\in [/mm] C) (Def. Vereinigung)
==> [mm] (x\in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) und [mm] x\not\in [/mm] B) oder [mm] (x\in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) und [mm] x\in [/mm] C) (Distributivgesetz)
==> [mm] (x\in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) und [mm] x\not\in [/mm] B) oder [mm] x\in [/mm] C (denn wenn's gleichzeitig in (A [mm] \cup [/mm] B) und C ist, ist's natürlich in C)
==> [mm] ((x\in [/mm] A und [mm] x\not\in [/mm] B) oder [mm] (x\in [/mm] B und [mm] x\not\in [/mm] B) oder [mm] x\in [/mm] C (Distributiv)
==> [mm] x\in [/mm] A \ B oder [mm] x\in [/mm] C (denn daß x gleichzeitig drin ist in B und nicht drin, kann ja nicht sein)
==> [mm] x\in [/mm] A oder [mm] x\in [/mm] C (denn wenn's in A ist, ist's in A - auch wenn's nicht in B ist)
==> [mm] x\in A\cup [/mm] C
> > (B [mm]\cap[/mm] C) [mm]\subseteq[/mm] (A [mm]\cup[/mm] C)
> das kann doch wohl nicht richtig sein oder??? (Eine Menge A
> heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A
> auch Element von B ist.)
Ich weiß schon, was eine Teilmenge ist...
Wenn [mm] x\in [/mm] B [mm]\cap[/mm] C ==> [mm] x\in [/mm] C ==> [mm] x\in A\cup [/mm] C
Gruß v. Angela
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