Beweis Symmetrie < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Sa 05.09.2015 | | Autor: | Jeany9 |
| Aufgabe | Hallo Zusammen,
ich würde gerne die Symmetrieeigenschaft der hypergeometrischen Verteilung herleiten und verstehen. |
Also es soll gelten:
[mm]\bruch{{k \choose i} *{N-k \choose n-i}}{{N \choose n}}=\bruch{{n \choose i} *{N-n \choose k-i}}{{N \choose k}} [/mm]
Hier wurden also nur k und n vertauscht. Ich weiss aber leider nicht, wie ich das herleiten kann.
Nachgelesen habe ich, dass es über die Symmetrieeigenschaft des Binomialkoefizienten gehen soll.
Sprich:
[mm]{n \choose k}=\bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm]
Kann mir hier jemanden helfen?
Danke und liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Sa 05.09.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Setze doch einfach mal die Defintion ein.
Also "von vorn"
[mm]\frac{{k \choose i} \cdot{}{N-k \choose n-i}}{{N \choose n}}[/mm]
[mm]=\frac{\frac{k!}{k!\cdot(k-i)!}\cdot{}\frac{(N-k)!}{(n-i)!\cdot((N-k)-(n-i))!}}{\frac{N!}{n!\cdot(N-n)!}}[/mm]
und das Ziel ist:
[mm] \frac{\frac{n!}{n!\cdot(n-i)!}\cdot{}\frac{(N-n)!}{(k-i)!\cdot((N-n)-(k-i))!}}{\frac{N!}{k!\cdot(N-k)!}}
[/mm]
[mm]=\frac{{n \choose i} \cdot{}{N-n \choose k-i}}{{N \choose n}}[/mm]
Bastele also ein bisschen mit den Fakultäten herum.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Sa 05.09.2015 | | Autor: | Jeany9 |
Hallo Marius,
du hast da ein paar kleinere Fehler drinnen.
Beim ersten Gleichheitszeichen hast du ausversehen n! anstatt i! geschrieben und nach dem Doppelpunkt hast du n! geschrieben, wo k! stehen müsste. Aber das sind nur Kleinigkeiten. Ich habe das verbessert.
$ [mm] \frac{{k \choose i} \cdot{}{N-k \choose n-i}}{{N \choose n}} [/mm] $
$ [mm] =\frac{\frac{k!}{i!\cdot(k-i)!}\cdot{}\frac{(N-k)!}{(n-i)!\cdot((N-k)-(n-i))!}}{\frac{N!}{n!\cdot(N-n)!}} [/mm] $
Beim zweiten
$ [mm] \frac{{n \choose i} \cdot{}{N-n \choose k-i}}{{N \choose k}} [/mm] $
$ [mm] =\frac{\frac{n!}{i!\cdot(n-i)!}\cdot{}\frac{(N-n)!}{(k-i)!\cdot((N-n)-(k-i))!}}{\frac{N!}{k!\cdot(N-k)!}} [/mm] $
Leider verstehe ich aber immer noch nicht wie ich mit den Fakultäten rumspielen sollen?
LG Jeanette
|
|
|
| |
|
Beide Ausdrücke ergeben, vollständig auf die Fakultäten heruntergebrochen
[mm]\frac{k! \ n! \ (N-k)! \ (N-n)!}{i! \ (k-i)! \ (n-i)! \ (N-k-n+i)! \ N!}[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Sa 05.09.2015 | | Autor: | Jeany9 |
Ach, das heißt, bei beiden wird der Kehrwert multipliziert. Jetzt habe ich es verstanden und bei beiden kommt dann der gleiche Ausdruck raus.
Vielen Dank für EURE Hilfe!!
|
|
|
|
